定值问题解
1、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不
包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=25. （1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；
（2）连接AQ并延长交x轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值. （3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？
【答案】解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，
在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC=PQ2?CQ2?∴OC=OP+PC=4+4=8。
又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）。 t的取值范围为：0＜t＜4。 （2）结论：△AEF的面积S不变化。
∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC。 ∴?25?2?22=4， CECQCEt8t?，即，解得CE=。 ?ADDQ84?t4?t由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4－t，则CF=CD+DF=8－t。 S=S梯形AOCF＋S△FCE－S△AOE=111（OA+CF）?OC+CF?CE－OA?OE 222118t18t= [4＋（8－t）]×8+（8－t）?－×4×（8＋）。 224?t24?t化简得：S=32为定值。
所以△AEF的面积S不变化，S=32。
（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQ∥AF。
由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF。
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∴CP：AD=CQ：DF，即8－2t：8= t：4－t，化简得t－12t＋16=0， 解得：t1=6+25，t2=6?25。
由（1）可知，0＜t＜4，∴t1=6+25不符合题意，舍去。 ∴当t=6?25秒时，四边形APQF是梯形。 2、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．
（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
2
【答案】解：（1）证明：如图，连接AC
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°， ∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°， ∴∠BAE=∠FAC。
∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。 ∴△ABC和△ACD为等边三角形。 ∴∠ACF=60°，AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。
∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC， ∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴BE=CF。
（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。理由如下：
由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF。 ∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。 作AH⊥BC于H点，则BH=2，
11S四边形AECF?S?ABC??BC?AH?BC?AB2?BH2?43。
22由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三
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边AE最短．角形AEF的
面积会最小，
又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．
∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF?43?1?23?2?23???3?22?3。
∴△CEF的面积的最大值是3。
（二）由运动产生的线段和差问题（最值问题）
1、如图所示，已知A(,y1)，B(2,y2)为反比例函数y?
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图像上的两点，动 x
点P(x,0)在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是【 】
A. (,0) B. (1,0) C. (,0) D. (,0) 【答案】D。
【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。 【分析】∵把A(,y1)，B(2,y2)分别代入反比例函数y?
∴A（
123252
1211 得：y1=2，y2= ， x211 ，2），B（2， ）。 22∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP－BP|＜AB， ∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA－PB=AB， 即此时线段AP与线段BP之差达到最大。
设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入得：
?12=k+b?k=?1?5??2 ?，解得：?5。∴直线AB的解析式是y??x?。
b=2??1=2k+b?2??255当y=0时，x= ，即P（ ，0）。故选D。
222、如图，抛物线l交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3）．将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1． （1）求l1的解析式；
（2）在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；
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【答案】解：（1）如图1，设经翻折后，点A．B的对应点分别为A1、B1，
依题意，由翻折变换的性质可知A1（3，0），B1（﹣1，0），∴抛物线l1经过A1（3，0），B1（﹣1，0），C（0，﹣3）设抛物线l1的解析式为y=ax+bx+c，则
2
C点坐标不变，三点，
?9a+3b+c=0?a=1???a?b+c=0，解得?b=?2。 ?c=?3?c=?3??∴抛物线l1的解析式为：y=x﹣2x﹣3。 （2）抛物线l1的对称轴为：x=?2
b?2=?=1， 2a2如图2，连接B1C并延长，与对称轴x=1交于
求。
此时，|PA1﹣PC|=|PB1﹣PC|=B1C。 设P′为对称轴x=1上不同于点P的任意一则有：|P′A﹣P′C|=|P′B1﹣P′C|＜B1C（三
第三边），
∴|P′A﹣P′C|＜|PA1﹣PC|，即|PA1﹣PC|设直线B1C的解析式为y=kx+b，则
点P，则点P即为所
点，
角形两边之差小于
最大。
??k+b=0，解得k=b=﹣3。∴直线B1C的解析式为：y=﹣3x﹣3。 ?b=?3?令x=1，得y=﹣6。∴P（1，﹣6）。
3、如图，已知抛物线y=﹣x+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
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2
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； （4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
【答案】解：（1）由抛物线y=﹣x+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，
2
??1?b+c=0?b=2，解得。∴抛物线的函数关系式为y??x2?2x?3。 ????4+2b+c=3?c=3设直线AC的函数关系式为y=kx+n，由直线AC过点A（﹣1，0）及C（2，3）得
??k+n=0?k=1，解得。 ???2k+n=3?n=1∴直线AC的函数关系式为y=x+1。 （2）作N点关于直线x=3的对称点N′， 令x=0，得y=3，即N（0，3）。
∴N′（6，3）
由y??x2?2x?3=??x?1?+4得
D（1，4）。
设直线DN′的函数关系式为y=sx+t，则
21?s=???6s+t=3?5，解得?。 ?s+t=421??t=??5∴故直线DN′的函数关系式为y??x?1521。 5根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小， ∴m???3?
152118=。 55第 5 页 共 5 页
中考数学专题训练：定值和最值问题解析版
