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第三步：考察n维列向量组T???1,?2,?,?m?，由于行初等变换不改变矩阵的列秩，
向量组T???1,?2,?,?m?中的极大无关组就对应S???1,?2,?,?m?中的极大无关组。
注：只用行初等变换，仅求列向量中的极大无关组。
例1 求出下列向量的一个极大线性无关组。
?1??1??1??1??1????????????2??4??3??2??1??1???，?2???，?3???，?4???，?5???
39751???????????4??16??13??10??1???????????
例2 求出下行向量的一个极大线性无关组。
?1?(1,1,?2,7)，?2?(?1,?2,2,?9)，?3?(?1,1,?6,6)，
?4?(2,4,4,3)，?5?(2,1,4,3)，
（四）线性方程组 1. 掌握克莱姆法则。
克莱姆法则：设含有n个未知数x1,x2,...,xn的n个方程组成的n元线性方程组为:
?a11x1?a12x2??a1nxn?b1?ax?ax??ax?b?2112222n22 ???????????an1x1?an2x2??annxn?bna11?如果线性方程组的系数行列式D不等于零，即D???an1?a1n??0 ann
DDD则方程组(1.7)有且仅有唯一解： x1?1，x2?2，…，xn?n
DDD其中Dj?j?1,2,...,n?是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右端的常数代替后所得
a11?到的阶行列式记作 Dj?a1,j?1b1a1,j?1?a2,j?1??an,j?1??a1na2n?anna21???an1?a2,j?1b2??an,j?1bn
当常数项全为零时，方程组称为n元齐次线性方程组。
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?a11x1?a12x2??a1nxn?0?ax?ax??ax?0?2222nn ?211
????????an1x1?an2x2??annxn?0齐次线性方程组的系数行列式D?0?齐次方程组只有零解。 齐次线性方程组的系数行列式D?0?齐次方程组有非零解。
?x1?3x?例1用克拉默法则解线性方程组 ?1?4x1??2x1?x2?2x2?3x2?x3?x3?x3?2x4?2x4?x4??5???6 002. 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。
?a11x1?a12x2??a1nxn?b1?ax?ax??ax?b?2222nn2设m个方程组n个未知数的齐次线性方程组?211
????????am1x1?am2x2??amnxn?bm?a11??a21A?????a?m1a12a22?am2?????a11a12a1n???a2n?~?a21a22A?????????aamn??， ?m1am2????a1na2n?amnb1??b2????bm??
?b1??x1?????x?b2??2?b?X????????????b??x??m?， ?m? ，
（1）齐次线性方程组
R(A)?n时?齐次线性方程组AX?0只有唯一零解；
R(A)?n时?齐次线性方程组AX?0有无穷多组非零解。
（2）齐次线性方程组
~R(A)?R(A)?AX?b有解。
~① 若R(A)?R(A)?n，则线性方程组AX?b有唯一一组解.
~② 若R(A)?R(A)?n，则次线性方程组AX?b有无穷多组解.
当AX?b有无穷多解时，其一般解中自由未知量的个数为n?r.
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~③ 若R(A)?R(A)，则非齐次线性方程组AX?b无解
3. 了解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念。
（１）齐次线性方程组的解向量
?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?0?2222nn设有齐次线性方程组?211
???????????????am1x1?am2x2???amnxn?0?x1??a11a12?a1n?????a22?a2n??x2??ax?记A??21， ?????????????x??a?a?a?n?m2mn??m1则上述方程组可写成向量方程Ax?0.
若x1??11,x2??21,?,xn??n1为方程Ax?0的解，
??11?????21?则x??1???为方程Ax?0的解向量，它也就是向量方程Ax?0的解．
???????n1?（2）齐次线性方程组的基础解系
如果（1）?1,?2,?,?t是Ax?0的一组线性无关的解，（2）Ax?0的任意一个解都可以由
?1,?2,?,?t线性表示；则称?1,?2,?,?t为齐次方程组Ax?0的基础系。
（3）齐次线性方程组的基础解系的确定 定理：设A是m?n矩阵，r(A)?r，则
①Ax?0的基础系中解向量的个数为：n?r；
②Ax?0的任意n?r个线性无关的解向量都是基础解系。 ③Ax?0只有零解?r(A)?n?Ax?0没有基础解系； ④Ax?0有非零解?r(A)?n?Ax?0有无穷多个基础解系。
Ax?0的基础系: (1)必须是Ax?0的解，(2)必须是线性无关向量组，(3)必须有n?r个向量。
（4）齐次线性方程组的解的结构
?1,?2,?,?n?r?为齐次方程组Ax?0的一个基础系， 如果?文案大全
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x?k1?1?k2?2???kn?r?n?r，那么Ax?0的通解可表示为：其中k1,k2,?,kn?r是任意常数。
4. 了解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。
（１）解向量的概念
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2222nn2设有非 齐次线性方程组?211
???????????????am1x1?am2x2???amnxn?bm?x1??b??a11a12?a1n???????x?2??b2??a21a22?a2n?记A??，x???，b???
??????????????x??b??a??n??m??m1am2?amn?简写成向量方程Ax?b.
~称A为方程组Ax?b的系数矩阵；x为n维未知列向量；b为m维常数向量；A?(A,b)为
方程组Ax?b的增广矩阵；
满足A??b的n维列向量?称为Ax?b的解向量，简称为解。 （2）非齐次线性方程组的解的结构 ① 非齐次线性方程组解的性质
性质1： 设?1，?2都是非齐次方程组Ax?b的解，则?1??2是对应齐次方程组Ax?0的解。
性质2：设?是非齐次方程组Ax?b的解，?是对应对应齐次方程组Ax?0的解，则???必是非齐次方程组Ax?b的解。
② 非齐次线性方程组解的结构
设A是m?n矩阵，且r(A,b)?r(A)?r，?*是非齐次方程组Ax?b的一个解，
??1,?2??n?r? 是对应齐次方程组Ax?0的基础解系。则非齐次方程组Ax?b的通解为：
x??*?k1?1?k2?2???kn?r?n?r；其中k1,k2,?,kn?r是任意常数。
5. 掌握用矩阵的行初等变换求线性方程组通解的方法。 （1）齐次线性方程组的通解的求法
① 用行初等变换将齐次方程组Ax?0的系数矩阵A化为阶梯开矩阵T ② 写出矩阵T对应的齐次方程组Tx?0 ③ 得出齐次方程组的解，指明自由未知量
④ 让自由未知量取成标准单位向量，得到基础解系的各向量
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⑤ 写出通解
?2x1?x2?2x3?3x4?0?例1 求解线性方程组?3x1?2x2?x3?2x4?0的通解。
?x?x?x?x?0234?11?1??111?1?r?(?2)r?11??r32?(?3)r11?????0?1?25? 解：A??21?23?????32?12??0?1?45?????1?1?(?1)r?11?10?14?2??1?(?1)r2??3?(?1)r2?r?????0?1?25??r?????012?5??T
?00?00000?0??????x1?x3?4x4?0简化后的阶梯形矩阵T对应的方程组为?
?x?2x?5x?034?2?x?x3?4x4即?1，这里x3，x4为自由未知量。
x??2x?5x34?2取x3?1，x4?0得x1?1，x2??2； 取x3?0，x4?1得x1??4，x2?5； 于是得到原方程组的一个基础解系
?1?(1,?2,1,0)T ， ?1?(?4,5,0,1)T
因此所给齐次方程的通解为：??k1?1?k2?2，其中k1，k2为任意常数。
（2）非齐次线性方程组的通解的求法
求给出的非齐次方程组Ax?b的通解，用初等变换将增广矩阵(A,b)化为行阶梯形矩阵
(T,d)，这样Ax?b与Tx?d是同解方程组，于是Tx?d的通解就是Ax?b的通解了。
求Ax?b的通解步骤：
① 用行初等变换将增广矩阵(A,b)化为行阶梯形矩阵(T,d) ② 写出矩阵(T,d)对应的非齐次方程组Tx?d，并得出其解。 ③ 让自由未知量都取0得到方程组的一特解?*。
④ 写出对应的齐次方程组Tx?0，并得出其解。
⑤ 让自由未知量取成标准单位向量，得到基础解系的各向量
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专升本资料8（线性代数-改）
