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?A11??AA*??12???A?1nA21A22?A2n???A1n??A2n??? 称为矩阵A的伴随矩阵． ?Ann??② 求矩阵的逆矩阵的公式 若矩阵A可逆，则A?1A?? (A*为A的伴随矩阵 ) ． |A|?123???例1 判断A.??321?是否可逆，如果可逆，求逆矩阵．
?101???4. 掌握矩阵的初等变换，了解矩阵秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。
（1）矩阵的初等变换
定义： 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行（列）变换。
① 对换变换： 互换矩阵的i、j两行（列）。 ri?rj（ci?cj） ② 倍乘变换： 把i行（列）的各元素都乘以非零k常数。 ri?k （ci?k）
③ 倍加变换： 把j行（列）的若干倍，加到i行（列）上。 ri?krj（ci?kcj） 矩阵A经过有限次初等行变换转化为矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记为A~B. （2）矩阵的秩
① 矩阵的k阶子式
在一个m?n的矩阵A中任意取k行和k列，位于这些行与列相交位置上的元素所构成的
kk?Cn一个k阶行列式称为矩阵A的k阶子式。矩阵Am?n的k阶子式共有Cm个。
② 矩阵的秩的定义
在m?n的矩阵A中，一切非零子式的最高阶数r称为矩阵A的秩。也就是说，若矩阵A中至少有一个r阶子式不等于零，而所有的r+1阶子式（如果有的话）都等于零，则称矩阵A的秩为r,记为R(A)?r.
注意： R(A)?min(m,n)。 零矩阵的秩为零；非零矩阵的秩一定不为零。 （3）矩阵的秩的求法
① 阶梯形矩阵及其秩 矩阵A若满足：（1）零行（元素全为0的行）在矩阵的最下方；（2）各非零行的第1个非零元素的列标随着行标的递增而严格增大。满足这样的条件的矩阵称为阶梯形矩阵。
阶梯形矩阵的秩为：非全零行的行数。
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3?2??2?10??031?25??如矩阵?有三个非全零行，则它的秩为3。 ?0004?3???00000??? ② 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩
方法：先用初等变换将矩阵变为与它等价的阶梯形矩阵，再观察非全零行的行数，其行
数即为矩阵的秩。
（3）逆矩阵的求法 ：(A,En)?(En,A?1)
将矩阵(A,En)经过一系列的初等变换，将前面的部分变成为单位矩阵后，其后面的部份就变成了A的逆矩阵。
?1?13???例： 求矩阵A??2?14?的逆矩阵。
??12?4???（三）向量
1. 理解n维向量的概念，向量的线性组合与线性表示。
（1）n维向量的定义
数ai称为n维向量的第n个数a1,a2,?,an组成的有序数组 (a1,a2,?,an)称为n维向量。
i个分量。向量中的个数称为向量的维数。向量一般用小写黑体的希腊字母?,?,?,?表示。
行向量：把向量写成一行； 可看成一行n列的矩阵。
列向量：把向量写成一列； 可看成n行一列的矩阵。 （2）n维向量的运算
① 两向量相等：两向量的各分量对应相等。 ② 向量的加法：两向量的各分量对应相加。 ③ 向量的减法：两向量的各分量对应相减。 ④ 数乘向量： 将数k乘以向量的各分量。
例 设??(2,1,3)，??(?2,3,6)，??(2,?1,4)，求向量2??3???。 （3）n维向量的线性组合
给定向量组A:?1,?2,?,?m，对于任何一组实数k1，k2，?,km， 则称
k1?1?k2?2???km?m
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?,km称为组合系数。 为向量组的一个线性组合。实数k1，k2，（4） 向量的线性表示
① 一个向量由向量组线性表示
?,xm使 给定向量组?1,?2,?,?m ，如果存在一组数x1，x2，??x1?1?x2?2??xm?m
则称?是向量组?1,?2,?,?m的一个线性组合。也称向是?可由向量组?1,?2,?,?m线性表
?,xm称为表出系数（组合系数） 示。x1，x2，n维标准单位向量组：?i?(0,?,0,1,0,?,0)，（i?1,2,?,n)
任何一个向量n维向量??(a1,a2,?,an)都可以唯一地由标准单位向量组线性表示。 ② 线性组合的矩阵方式表示
（?1,?2,?,?m（)x1,x2,?,xm)T ?AX， ??x1?1?x2?2??xm?m ?（x1,x2,?,xm)T （?1,?2,?,?m)，X?其中 A? ③ 表示系数的求法
?,xm就是求解线性方程组：AX??。 求表出系数x1，x2，若线性方程组AX??有唯一解，则表示法是唯一的。 若线性方程组AX??有无穷多个解，则表示法不是唯一的。
若线性方程组AX??无解，则?不能由向量组?1,?2,?,?m线性表示。
例 问??(?1,1,5)T能否表示成?1?(1,2,3)T，?2?(0,1,4)T，?3?(2,3,6)T的线性组合。
2. 理解向量组线性相关或线性无关的定义，掌握判别向量组线性相关的方法。
（1）向量组线性相关性的概念
① 向量组线性相关、线性无关的定义：
?,km使 给定向量组?1,?2,?,?m ，如果存在不全为零的数k1，k2，k1?1?k2?2???km?m?0
则称向量组?1,?2,?,?m是线性相关的，k1,k2,?,km称为相关系数。否则称它线性无关。 ② 向量组线性相关性的判别
结论1：含有零向量的向量组一定线性相关。 结论2：单个非零向量一定线性无关。
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结论3：两个非零向量线线相关?两向量的分量对应成比例。
结论4：?1,?2,?,?m线性相关?至少存在某个向量?i能由其余向量线性表出。 结论5：?1,?2,?,?m线性无关?任意一个向量都不能由其余向量线性表出。
结论6：?1,?2,?,?m线性无关，添加一个向量后?1,?2,?,?m,?线性相关??一定可由向量组?1,?2,?,?m线性表出，且表示法唯一。
结论7： ?1,?2,?,?m线性相关?添加向量后的向量组也一定线性相关。简说：部份相关则整体相关。
结论7：设有两个向量组，它们的前n个分量对应相同
?i?(ai1,ai2,?,ain)，?i?(ai1,ai2,?,ain,ain?1,?,ain?p)，(i?1,2,?,m)
?1,?2,?,?m线性无关??1,?2,?,?m线性无关 ?1,?2,?,?m线性相关??1,?2,?,?m线性相关 简说：无关组接长后仍无关。相关组截短后仍相关。
（2）向量组线性相关的判别方法。
设向量?1,?2,?,?m组，如何判别其线性相关性呢？
?i?(ai1,ai2,?,ain)T， (i?1,2,?,m)，
（x1,x2,?,xm)T， （?1,?2,?,?m)，X?令A??1,?2,?,?m线性相关?存在不全为零的k1,k2,?,km使k1?1?k2?2???km?m?0
?a11x1?a12x2???a1nxm?0?ax?ax???ax?0?2222mm 有非零解。 ?m个变元的齐次方程组?211???????????????an1x1?an2x2???anmxm?0?AX?0是否有非零解。 ? R(A)?m
例1 判别向量组?1?(1,1,1)，?2?(1,1,0)，?3?(1,0,0)的线性相关性。
例2 判别向量组?1?(1,2,3)，?2?(?1,1,4)，?3?(3,3,2)，?4?(4,5,5)的线性相关性。
结论1： n个n维向量组?1,?2,?,?n线性无关?A?(?1,?2,?,?n)?0
结论2：当向量组中的向量个数m大于其维数n时?向量组?1,?2,?,?m一定线性相关。
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3. 了解有关向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大无关组和秩。
（1）向量组的极大线性无关组 ① 定义
设向量组T由若干个n维向量构成，若存在T的一个部分向量组?1,?2,?,?r满足以：
（1）?1,?2,?,?r线性无关；（2）对于任意向量??T，向量组?,?1,?2,?,?r线性相关。则称?1,?2,?,?r是向量组T的一个极大无关组。
② 向量组的极大无关组的性质：
一个向量组的任意两个极大无关组所含有的向量个数相同。 （2） 向量组的秩
① 定义 向量组T的任意一个极大无关组中所含向量的个数叫做T的秩。记为：R(T) ② 向量组的秩的性质、结论
若向量S可以由向量组T线性表出，则R(S)?R(T)。
（3） 向量组的秩、极大无关组的求法
① 向量组的秩的求法
设向量组?1,?2,?,?m是m个n维列向量，现构成一个n?m矩阵
A?(?1,?2,?,?m)，则有 R(?1,?2,?,?m)?R(A)
设向量组?1,?2,?,?m是m个n维行向量，现构成一个n?m矩阵
B?(?1,?2,?,?m)，则有 R(?1,?2,?,?m)?R(B) 把求向量组的秩的问题转化为求矩阵的秩的问题。
② 向量组的极大无关组的求法 第一步：将向量组构成一个矩阵
设S???1,?2,?,?m?为n维列向量组，现构成n?m矩阵A?(?1,?2,?,?m) 第二步： 用初等行变换将其变为阶梯形矩阵
A?(?1,?2,?,?m)?(?1,?2,?,?m)?B
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专升本资料8（线性代数-改）
