第三章 变化率和导数 3．1．1瞬时变化率—导数
教学目标：
(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念
(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 (3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想 教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景
一、复习引入
1、什么叫做平均变化率；
2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[xA，xB]上的平均变化率 3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？
下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P沿曲线向点Q运动，随着点P无限逼近点Q时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q处的切线的斜率。
所以我们可以用Q点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q处的变化趋势 二、新课讲解
1、曲线上一点处的切线斜率
不妨设P(x1，f(x1))，Q(x0，f(x0))，则割线PQ的斜率为kPQ?设x1－x0=△x，则x1 =△x＋x0， ∴kPQ?f(x1)?f(x0)，
x1?x0f(x0??x)?f(x0)
?x当点P沿着曲线向点Q无限靠近时，割线PQ的斜率就会无限逼近点Q处切线斜率，即当△x无限趋近于0时，kPQ?f(x0??x)?f(x0)无限趋近点Q处切线斜率。
?x2、曲线上任一点(x0，f(x0))切线斜率的求法：
k?f(x0??x)?f(x0)，当△x无限趋近于0时，k值即为(x0，f(x0))处切线的斜率。
?x3、瞬时速度与瞬时加速度
(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (2) 位移的平均变化率：
s(t0??t)?s(t0)
?ts(t0??t)?s(t0)无限趋近于一个常数，这个常数称为
?t(3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，
t=t0时的瞬时速度
求瞬时速度的步骤：
1.先求时间改变量?t和位置改变量?s?s(t0??t)?s(t0) 2.再求平均速度v??s ?t?s无限趋近于常数v为瞬时速度 ?t3.后求瞬时速度：当?t无限趋近于0，
(4)速度的平均变化率：
v(t0??t)?v(t0)
?tv(t0??t)?v(t0)无限趋近于一个常数，这个常
?t(5)瞬时加速度：当?t无限趋近于0 时，
数称为t=t0时的瞬时加速度
注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率 三、数学应用
2
例1、已知f(x)=x，求曲线在x=2处的切线的斜率。 变式:1.求f(x)?1过点(1,1)的切线方程 2x3
2.曲线y=x在点P处切线斜率为k,当k=3时,P点的坐标为_________ 3.已知曲线f(x)?3x上的一点P(0,0)的切线斜率是否存在?
例2.一直线运动的物体，从时间t到t??t时，物体的位移为?s，那么?s为（ ）
?tＡ．从时间t到t??t时，物体的平均速度； Ｂ．在t时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为?t时物体的速度； Ｄ．从时间t到t??t时物体的平均速度 例3.自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=(1)求t=t0s时的瞬时速度 (2)求t=3s时的瞬时速度 (3)求t=3s时的瞬时加速度
点评：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬
12gt 23.1.2 导数的几何意义（1）
教学目的：
1. 了解平均变化率与割线之间的关系 2. 理解曲线的切线的概率
3. 通过函数的图像理解导数的几何意义 教学重点
函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义 教学难点
理解导数的几何意义 教学过程
探究曲线的切线及切线的斜率
当点pn(xn，f(xn))(n?1，2，3，4?)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时割线PPn变化趋势是什么？割线PPkn与切线PT的斜率无限接近 n的斜率f(xn)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)k?lim?lim?f'(x)
?x?0?x?0xn?x0?x注意： （1）设切线的倾斜角为?，那么当x?0时，割线PPP处的切线的斜率.n的斜率为曲线在点（2）求曲线上某点的切线的斜率可以求该点的导数. （3）切线的斜率—函数在该点的导数.
练习
1.函数y?2x3?x在区间[1，3]上的平均变化率为
2.若函数f(x)?2x2?1的图像上一点(1，1)及附近一点(1??x，1??f)，则
?f??x3.一个做直线运动的物体，其位移与时间的关系是s?3t?t2.（1）求此物体的初速度； （2）求t?0到t?2时的平均速度.f(x0??x)?f(x0)4.已知函数y?f(x)在x?x0处的导数为11.则lim?
?x?0?x导数的几何意义：
函数y?f(x)在x?x0处的切线的斜率就是函数在该点时的导数. 曲线在某点的切线 （1）与该点的位置有关.（2）要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点有切线且唯一；若无极限，则不存在切线.（3）曲线的切线与切线并不一定只有一个交点，可以有多个甚至无数个.例1.求曲线y?f(x)?x2?1在点P(1，2)处的切线方程.
练习
11（1）函数y??在点(，?2)处的切线方程为
x2（2）已知y?3x2?x，求曲线上点A(1，2)处的斜率k? 导函数的定义
从求函数f(x)在x?x0处求导数的过程可以看到f'(x)是一个确定的数，那么当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数，记作f'(x)或y'.
即f'(x)?y'?lim注意
?x?0f(x??x)?f(x)
?x（1）函数在某一点处的导数f'(x)是一个定值，是函数在该点的函数该变量与自变量该变量的比值的极限，不是变量.（2）函数的导数：是指某一区间内任一点x而言的. （3）函数f(x)在x0处的导数就是导函数f'(x)在x?x0处的函数值.
例2.求函数y?x2?x?1的导数，及在(2，7]处的斜率.
3.2．3导数的几何意义(2)
教学目标：理解导数概念.掌握函数在一点处的导数定义及求法.掌握函数的导数的求法. 教学重点：导数的概念及其求法.及几何意义。 教学难点：对导数概念的理解. 教学过程： 复习引入
1．函数的导数值
函数y＝f(x)，如果自变量x在x0处有增量?x，则函数y相应地有增量 ?y＝f(x0＋?x)－f(x0)．
比值
?y就叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋?x之间的平均变化率，即 ?x?yf(x0??x)?f(x0)?. ?x?x如果当Δx→0时，
?y有极限，我们就说函数y＝f(x)在点x0处可导，并把这个极限?xx?x0叫做f(x)在x0处的导数(或变化率) 记作f '(x0) 或y'，即 f '(x0)＝
f(x0??x)?f(x0)?y=lim
?x?0?x?x?0?xlim2．函数 y＝f(x) 的导函数
如果函数在开区间(a, b)内每点处都有导数，对于每一个x0∈(a，b)，都对应着一 个确定的导数f ?(x0)．从而构成一个新的函数f ?(x)．称这个函数为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．简称导数．也可记作y?．
即 f'(x)?y'?lim?yf(x??x)?f(x) ?lim.
?x?0?x?x?0?x3．导数的几何意义
函数y＝f(x) 在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P（x0, f(x0)）处的切线的斜率．
也就是说，曲线y＝f(x)在点P（x0, f(x0)）处的切线的斜率是f '(x0)． 切线方程为 y－y0＝f '(x0) (x0－x0)． 练习：
1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ A ） A．在区间[x0，x1]上的平均变化率 B．在x0处的变化率
C．在x1处的导数 D．在区间[x0，x1]上的导数 2．下列说法正确的是（ C ）
A．若f ′ (x0)不存在，则曲线y = f (x)在点(x0, f (x0))处就没有切线 B．若曲线y = f (x)在点(x0, f (x0))处有切线，则f ′ (x0)必存在
C．若f ′ (x0)不存在，则曲线y = f (x)在点(x0, f (x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y = f (x)在点(x0, f (x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线 3．已知曲线y?138x上一点P(2,)， 33求⑴ 点P处的切线的斜率；⑵ 点P处的切线的方程．
1133(x??x)?x13?y33解：⑴y?x, ?y??lim ?lim?x?0?x?x?03?x13x2?x?3x(?x)2?(?x)3?lim
?x?03?x?于4．
1lim[3x2?3x?x?(?x)2]?x2,y?x?2?22?4. ∴点P处的切线的斜率等3?x?0⑵在点P处的切线的方程是y?8?4(x?2), 即12x?3y?16?0. 3新课讲授：
例1． 教材例2。 例2． 教材例3。 练习：甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问： （1）甲、乙二人哪一个跑得快？ （2）甲、乙二人百米赛跑，
问快到终点时，谁跑得较快？ 解：（1）乙跑的快；（2）乙跑的快. 例3．教材P10面第5题 例4．教材P11面第3题。
例5．已知：曲线y?x?1与y?x?1在x0处的切线互相垂直，求的值。
例6．已知点M (0, –1)，F (0, 1)，过点M的直线l与曲线y?x3?4x?4在x = –2处
的切线平行.
（1）求直线l的方程；
（2）求以点F为焦点，l为准线的抛物线C的方程. 解：（1）∵f?(2?)mil??x?02313f(2???x)?f(2)??x= 0. ∴直线l的斜率为0，其方程为y = –1.
2
（2）∵抛物线以点F (0, 1)为焦点，y = –1为准线. 设抛物线的方程为x = 2py，则
p?1,p?2. 2
北师大版高中数学(选修1-1)《第三章变化率与导数》教案]
