6.1 平方根
一、内容和内容解析 1．内容
算术平方根的概念，被开方数越大，对应的算术平方根也越大． 2．内容解析
算术平方根是初中数学中的重要概念，引入算术平方根，是解决实际问题的需要．作为《实数》的开篇第一课，掌握好算术平方根的概念和计算，一方面可为后续研究平方根、立方根提供方法上的借鉴，另一方面也是为认识无理数，完成数集的扩充，解决数学内部运算，以及二次根式的学习等作准备． 算术平方根的概念分两个部分，分别是关于一个正数算术平方根的定义和关于0的算术平方根的规定．由算术平方根的概念引出其符号表示、读法及什么是被开方数．
根据算术平方根的概念，可以利用互逆关系，求一些数的算术平方根．根据这些数的算术平方根的结果，不难归纳得出“被开方数越大，对应的算术平方根也越大”的结论，其间体现了从特殊到一般的思想方法．
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：算术平方根的概念和求法． 二、目标和目标解析 1．教学目标
（1）了解算术平方根的概念，会用根号表示一个非负数的算术平方根． （2）会求一些数的算术平方根． 2．目标解析
（1）学生能说出正数的算术平方根的定义，记住0的算术平方根是0；会用符号一个非负数的算术平方根，并能正确读出符号
，能够说出
表示
中数的名称；理解符号
中被开方数≥0(即是一个非负数)的条件，了解也是一个非负数．
（2）学生能依据算术平方根的定义判断一个数有没有算术平方根；掌握用平方运算求某些数的算术平方根的方法，会求出100以内完全平方数或分子、分母均是这类数的分数的算术平方根，以及上述这类数扩大(或缩小)100倍、10000倍的数的算术平方根；了解被开方数越大，对应的算术平方根也越大． 三、教学问题诊断分析
在本课学习之前，学生们已经掌握了一些完全平方数，对乘方运算也有一定的认识．但对于算术平方根为什么只是就正数进行定义，并对0的算术平方根作出规定，大多数学生不习惯．还有就是负数没有算术平方根，这种某数不能进行某种运算的情况在有理数的前五种代数运算中，一般不会碰到(0不能作除数除外)；加之算术平方根的符号表示只涉及一个数，这与前面所学都涉及两个数的运算不一样，学生可能难以理解． 基于以上分析，本节课的教学难点是：深化对算术平方根的理解． 四、教学过程设计
1．创设情境，引入新课
教师展示教科书中本章的章前图，说明这是神舟七号宇宙飞船升空的照片，并提出下面的问题．
问题1 请同学们阅读本章的引言，你从引言中发现了哪些与数有关的概念？本章将要学习的主要内容以及大致的研究思路是什么？
师生活动 学生阅读，回答；教师补充说明数的范围不断扩大体现了人类在数的认识上的不断深入，让学生感受数的扩充的必要性．
设计意图：通过“神州七号载人飞船发射成功”引入本章学习，激发兴趣，增强学生的学习热情．
2．师生互动，学习新知
问题2 学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25dm的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 师生活动：学生可能很快答出边长为5dm． 追问 请说一说，你是怎样算出来的？
师生活动：学生理清解决问题的思路，回答，教师可结合图片强调思路．
设计意图：从现实生活中提出数学问题，使学生积极主动的投入到数学活动中去，同时为学习算术平方根提供实际背景和生活素材． 问题3 完成下表：
正方形的面积/dm 边长/dm 1 9 16 36 师生活动：学生可能很快答出．
设计意图：通过多个已知正方形面积求边长问题的解答，加强学生对这种运算的理解，为引出算术平方根作好铺垫．
问题4 你能指出问题2与问题3的共同特点吗？
师生活动：学生可能回答：上述问题都是“已知一个正方形的面积，求这个正方形的边长”的问题，教师可引导学生进一步归纳为“已知一个正数的平方，求这个正数”的问题，从而揭示问题的本质．在此基础上教师给出算术平方根的定义． 一般地，如果一个正数的平方等于，即的算术平方根记为
，那么这个正数叫做的算术平方根．
，读作“根号”，叫做被开方数．
问题5 上面就一个正数给出了算术平方根的定义，那么，你认为“0的算术平方根是多少？”“怎样表示”比较合适呢？
师生活动：学生不难回答“0的算术平方根是0”，可以表示为“
”；教师指明：算术平
方根的概念包含“正数算术平方根”的定义和“0的算术平方根”的规定两部分． 追问（1） 根据以上学习，你认为对于算术平方根中被开方数可以是哪些数？
师生活动：学生回答，教师明确：算术平方根中被开方数可以是正数或0，即非负数． 追问（2） 为什么负数没有算术平方根呢？
师生活动：学生思考、回答，教师点拨：因为任何一个正数的平方都不可能是负数．
设计意图：通过不断追问，由学生思考解决，体会分类讨论，既加深学生对算术平方根的理解，又让学生养成全面考虑问题的习惯． 追问（3） 请判断正误： （1）-5是-25的算术平方根； （2）6是
的算术平方根；
（3）0的算术平方根是0；
2
（4）0．01是0．1的算术平方根；
（5）一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根．
师生活动：学生回答，其他学生讨论，教师对有难度的进行适当引导． 设计意图：检验对算术平方根的理解． 3．例题示范，学会应用
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100；（2）；（3）0．0001．
师生活动：教师给出第（1）小题求数的算术平方根的思考过程，学生模仿独立完成第（2）、第（3）小题，两名学生板演后，全班交流．
追问 从例1中，你能发现被开方数的大小与对应的算术平方根的大小之间有什么关系吗？
师生活动：学生比较被开方数的大小以及其算术平方根的大小，试图归纳出结论．如有困难，教师再举一些具体例子加以引导，说明． 设计意图：通过求大小不同的三种形式的正数的算术平方根的实践，巩固求算术平方根的方法，由特殊到一般归纳出结论：被开方数越大，对应的算术平方根也越大．为下节课学习估计平方根的大小做准备． 例2 求下列各式的值．
（1）；（2）；（3）．
师生活动：学生先说明所求式子的含义，然后三名学生板演，全班交流，教师点评． 设计意图：使学生熟悉算术平方根的符号表示，全面了解算术平方根． 4．即时训练，巩固新知
（1）教科书第41页的练习． （2）求
的算术平方根．
的算术平方根”，
师生活动：学生独立完成，教师巡视，对个别差生进行辅导．对“求要让学生明白此题包含两层运算，即先求
=？，然后再求“？”的算术平方根，实际上
就是上述例1、例2类型的综合题． 设计意图：通过练习使学生在了解算术平方根及有关概念的基础上，达到能自己求一个数的算术平方根，进一步巩固、深化对算术平方根的理解． 5．课堂小结
师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题： （1）什么是算术平方根？
（2）如何求一个正数的算术平方根？ （3）什么数才有算术平方根？
设计意图：让学生对本节课知识进行梳理，进一步落实相关概念． 6．布置作业：
教科书习题6．1 第1、2题． 五、目标检测设计
1．若是49的算术平方根，则=( )．
3
A．7 B．－7 C．49 D．－49 设计意图：本题考查学生对算术平方根概念的理解． 2．说出下列各式的意义，并求它们的值．
（1）；（2）；（3）；（4）．
设计意图：本题考查学生对算术平方根概念的理解，以及是否能正确认识符号化语言． 3．
的算术平方根是_____．
设计意图：本题考查学生对算术平方根概念的全面理解．
《平方根》教学设计（第2课时）
初稿：夏晓华（安徽省庐江县第三中学）
一、内容和内容解析 1．内容
无限不循环小数；求算术平方根的更一般的方法---用有理数估算、用计算器求值． 2．内容解析
无限不循环小数的引入，教科书是通过用有理数估计近似值，进而发现
的大小，得到
的越来越精确的
是一个无限不循环小数的结论．发现无限不循环小数的过程就是反复
运用有理数估计无理数的大小的过程．
用有理数估计(一个带算术平方根符号的)无理数的大致范围，通常利用与被开方数比较接近的完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小，这种估算在生活中经常遇到，是学生生活中需要的一种能力．
使用计算器可以求任何正数的平方根，但不同品牌的计算器，按键顺序可能不同，教学中，可以让学生根据计算器品牌，参考使用说明书，学习使用计算器求算术平方根的方法．这完全可以让学生自己完成． 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：用有理数估计一个(带算术平方根符号的)无理数的大致范围．
二、目标和目标解析 1．教学目标
（1）通过估算，体验“无限不循环小数”的含义，能用估算求一个数的算术平方根的近似值．
（2）会利用计算器求一个正数的算术平方根；理解被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律． 2．目标解析
（1）学生了解“无限不循环小数”是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数，感受这是不同于有理数的一类新数；对于估算，学生要会利用估算比较大小；了解夹逼法，采用不足近似值和过剩近似值来估计一个数的范围．
（2）学生会概述利用计算器求一个正数的算术平方根的程序(按键的顺序)；明白利用计算器求一个正数的算术平方根，计算器显示的结果可能是近似值；会利用作为工具的计算器探究算术平方根的规律，理解被开方数小数点向右或向左移动2位，它的算术平方根就相应地
4
向右或向左移动1位，即被开方数每扩大(或缩小)100倍，它的算术平方根就扩大(或缩小)10倍．
三、教学问题诊断分析
用有理数估计一个(带算术平方根符号的)无理数的大致范围，需要学生理解“算术平方根的被开方数越大，对应的算术平方根也越大”的性质，还要判断被开方数在哪两个相邻的整数平方数之间．为了让学生体验“无限不循环小数”的含义，还要多次采用“夹逼法”进行估计，即利用其一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小，这些对学生综合运用知识的能力有较高的要求． 基于以上分析，本课的教学难点是：用有理数估计一个(带算术平方根符号的)无理数的大致范围的过程，体验“无限不循环小数”的含义． 四、教学过程设计
1．梳理旧知，引出新课
问题1 （1）什么是算术平方根?怎样表示? （2）负数有算术平方根吗？ 师生活动 学生回答，教师说明：我们上节课已经能求出一些平方数的算术平方根了，例如，
=4；但实际生活中，我们还会遇到被开方数不是一个数的平方数的情况，这时，它的算术平方根又该怎祥求呢？
设计意图：复习与本节课相关的知识，通过设问，引出本节课学习内容． 2．问题探究，学习新知
问题2 能否用两个面积为1dm的小正方形拼成一个面积为2dm的大正方形？ 师生活动：学生动手操作，在小组内讨论交流，教师展示剪拼方法． 追问（1） 拼成的这个面积为2dm的大正方形的边长应该是多少呢？ 师生活动：学生自行解答，教师对解答有困难的学生进行指导． 追问（2） 小正方形的对角线的长是多少呢？
师生活动：学生根据图形，不难回答，小正方形的对角线的长就是大正方形的边长
dm．
设计意图：通过实际问题的操作探究，说明实际生活中确实存在被开方数不是一个数的平方数的情况，激发学生学习积极性，追问（2）主要为后面介绍用数轴上的点表示问题3
有多大呢？为了弄清这个问题，请同学们探究“
作准备．
在哪两个整数之间呢？” 大于1而小于2，教师引
师生活动：先让学生思考讨论并估计大概有多大，由直观可知
导学生利用“被开方数越大，对应的算术平方根也越大”说明理由，教师板书推理过程． 追问（1） 那么
是1点几呢？你能不能得到
的更精确的范围？
师生活动：学生用试验的方法可得到平方数小于2且最接近的1位小数是1．4，而平方数大于2且最接近的1位小数是1．5，所以按教科书上的推理进行讲解并板书．说明
大于1．4而小于1．5……，在此基础上教师是一个无限不循环小数，以及什么是无限不循
5
环小数．并要求学生回忆以前学过的数，进行比较． 追问（2） 实际上，许多正有理数的算术平方根，如数．根据估计
的大小的方法，请你估计
，
，
等都是无限不循环小
的整数部分是多少？
的一系列不足近似值和过剩近似值来
设计意图：通过对大小的估计，初步掌握利用
估计它的大小的方法，并从中体会是一个无限不循环小数．让学生回忆以前学过的数，
通过比较，了解无限不循环小数的特征，为后面学习无理数打下基础．追问（2）主要为及时巩固估算方法．
3．用计算器，求算术根
例1 用计算器求下列各式的值： （1）
； （2）
(精确到0．001)
师生活动：教师指导学生操作，获得问题答案．解答完（2）后，让学生与上面所估计的的大小进行比较，体会夹逼法的可行性．说明用计算器可以求出任意一个正数的算术平方根，但不同品牌的计算器，按键顺序可能有所不同．用计算器求出的算术平方根，有的是准确值，如题（1），有的是近似值，如题（2）．
设计意图：使学生会使用计算器求算术平方根． 练习 教科书第44页练习1． 师生活动：学生独立完成后交流． 设计意图：巩固计算器求算术平方根． 4．综合应用，巩固所学
现在我们来解决本章引言中的问题． 问题4 （1）你会表示出（2）用计算器求位)
师生活动：学生理解题意，根据公式，可得代入，利用计算器求出
,
．
，
，将
，
,
,
吗？
的形式，其中保留小数点后一
．(用科学记数法把结果写成
设计意图：让学生体会计算器在解决实际问题中的应用．
问题5 利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中． … … … … 师生活动：学生计算填表．
追问（1） 你发现了什么规律？
师生活动：学生思考、讨论，教师归纳：被开方数的小数点向右或向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位．
6
追问（2） 你能说出其中的道理吗？
师生活动：学生讨论，交流，教师引导学生从被开方数扩大的倍数与其算术平方根扩大的倍数思考回答．即当被开方数扩大(或缩小)100倍，10000倍…时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)10倍，100倍…． 追问（3） 用计算器计算
的近似值．
师生活动：学生计算，并根据所获规律回答． 追问（4） 你能根据
的值说出
是多少吗？
的值说出
(精确到0．001)，并利用刚才的得到规律说出
，
，
师生活动：学生回答，因为被开方数30与3不符合上述规律，所以无法由是多少．
设计意图：巩固用计算器求算术平方根以及其在探究规律中的应用．
例2 小丽想用一块面积为400cm的长方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说:“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
师生活动：教师出示问题，学生理解题意，学生可能会和小明有同样的想法，此时教师进行如下引导:
（1）你能将这个问题转化为数学问题吗？ （2）如何求出长方形的长和宽？
（3）长方形的长和宽与正方形的边长之间的大小关系是什么？ 最后给出完整的解答过程．
设计意图：让学生体验估算的实际应用． 5．归纳小结：
师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题： （1）利用夹逼法来求算术平方根的近似值的依据是什么？ （2）利用计算器可以求出任意正数的算术平方根或近似值吗？
（3）被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律是怎样的呢？ （4）怎样的数是无限不循环小数？
设计意图：让学生对本节课知识进行梳理，同时也帮助学生养成良好的习惯． 6．布置作业：
教科书习题6．1第6、9、10题． 五、目标检测设计 1．求
的整数部分．
【设计意图】主要考查学生的估算能力． 2．比较下列各组数的大小．
（1）与；（2）与12；（3）与．
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【设计意图】主要考查学生的估算和比较大小的能力． 3．若
，
，那么
_______；
_______．
【设计意图】主要考查学生对算术平方根概念以及有关规律的理解．
4．国际比赛的足球场的长在100m到110m之间, 宽在64m到75m之间, 现有一个长方形的足球场其长是宽的1．5倍, 面积为7560m, 问：这个足球场能用作国际比赛吗？ 【设计意图】主要考查学生运用算术平方根解决实际问题的能力．
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七年级数学下册 6.1 平方根教学设计（新版）新人教版
