第四章 一阶逻辑基本概念
【教学目的与要求】
1．掌握一阶逻辑的命题符号化； 2．理解谓词公式与解释。
【教学重点、难点】
个体词、谓词、量词；谓词公式及其解释。 【教学方法】：讲授法 【主要内容】
一阶逻辑命题符号化 个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑公式及其解释 一阶语言 合式公式 合式公式的解释
永真式、矛盾式、可满足式 【教学过程】 一阶逻辑命题符号化
1.个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体。 个体常项：具体的事务，用a, b, c表示。 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示。 个体域(论域)——个体变项的取值范围。 有限个体域，如 {a, b, c}, {1, 2}； 无限个体域，如 N, Z, R, …；
全总个体域——由宇宙间一切事物组成。
2.谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词。
谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词
一元谓词(n=1)——表示性质；
多元谓词(n2)——表示事物之间的关系。 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，…
0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项。
3.量词——表示数量的词 全称量词
: 表示所有的.
x : 对个体域中所有的x.
如, xF(x)表示个体域中所有的x具有性质F； 存在量词
xyG(x,y)表示个体域中所有的x和y有关系G。 : 表示存在, 有一个.
x : 个体域中有一个x .
如, xF(x)表示个体域中有一个x具有性质F;
xyG(x,y)表示个体域中存在x和y有关系G.
xyG(x,y)表示对个体域中每一个x都存在一个y使得x和y有关系G; xyG(x,y)表示个体域中存在一个x使得对每一个y, x和y有关系G.
例1 用0元谓词将命题符号化 (1) 墨西哥位于南美洲; (2)
2是无理数仅当3是有理数;
(3) 如果2>3，则3<4. 解：在命题逻辑中：
(1) p, p为墨西哥位于南美洲（真命题）.
(2) p→q, 其中, p:2是无理数，q：3是有理数. 是假命题. (3) pq, 其中，p：2>3，q：3<4. 是真命题.
在一阶逻辑中：
(1) F(a)，其中，a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲. (2) F(2)G(3),
其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x是有理数.
(3) F(2, 3)G(3, 4)，其中，F(x, y)：x>y，G(x, y)：x (a) D为人类集合; (b) D为全总个体域. 解: (a) (1) (2) xG(x), G(x)：x爱美 xG(x), G(x)：x用左手写字 (b) F(x)：x为人，G(x)：x爱美 (1) (2) x(F(x)x(F(x) G(x)) G(x)) 注：1. 引入特性谓词F(x)； 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公式。 例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数； (2) 有的无理数大于有的有理数。 解 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y 或者 x(F(x) y(G(y) L(x,y))) L(x,y)) xy(F(x)G(y) (2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，L(x,y)：x>y x(F(x) y(G(y) L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y)) 例4 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 没有不呼吸的人； (2) 不是所有的人都喜欢吃糖。 解： (1) F(x): x是人, G(x): x呼吸 x(F(x) G(x)) x(F(x)G(x)) (2) F(x): x是人, G(x): x喜欢吃糖 x(F(x)x(F(x) G(x)) G(x)) 例5 设个体域为实数域, 将下面命题符号化 (1) 对每一个数x都存在一个数y使得x xyL(x,y) xyL(x,y) 注意: 与不能随意交换. 显然(1)是真命题, (2)是假命题. 一阶逻辑公式及解释 1.定义 设L是一个非逻辑符集合, 由L生成的一阶语言L 的字母表包括下述符号： 非逻辑符号 (1) 个体常项符号：a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i 1 (2) 函数符号：f, g, h, …, fi, gi, hi, …, i 1 (3) 谓词符号：F, G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i 1 逻辑符号 (4) 个体变项符号：x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i 1 (5) 量词符号：, , , , , (6) 联结词符号： (7) 括号与逗号：(, ), ， 定义 L 的项的定义如下： (1) 个体常项和个体变项是项. (2) 若项. (3) 所有的项都是有限次使用(1),(2)得到的. 如, a, x, x+y, f(x), g(x,y)等都是项 定义 设R(x1, x2, …, xn)是L 的任意n元谓词，t1, t2, …, tn 是L 的任意n个项，则称R(t1, t2, …, tn)是L 的原子公式. 如，F(x, y), F(f(x1, x2), g(x3, x4))等均为原子公式 定义 L 的合式公式定义如下： (1) 原子公式是合式公式. (2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是合式公式 (4) 若A是合式公式，则 xA, xA也是合式公式 (x1, x2, …, xn)是任意的n元函数，t1, t2, …, tn是任意的n个项，则 (t1, t2, …, tn) 是 (5) 只有有限次地应用(1)—(4)形成的符号串才是合式公式. 合式公式简称公式. 如, F(x), F(x)式. 定义 在公式 xA 和 xA 中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在 x和 x G(x,y), x(F(x) G(x)), xy(F(x) G(y)L(x,y))等都是合式公 的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现的. 例如， x(F(x,y)G(x,z))， x为指导变元，(F(x,y) G(x,z))为 x 的辖域，x的两次出 现均为约束出现，y与 z 均为自由出现； 又如, x(F(x,y,z) y(G(x,y)H(x,y,z))), x中的x是指导变元,辖域为
第四章一阶逻辑基本概念
