极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解

由天下分享时间：2024/12/27 6:23:56 加入收藏我要投稿点赞

知识点回顾

（一）曲线的参数方程的定义：

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即

?x?f(t) ??y?f(t)并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：

1．过定点（x0，y0），倾角为α的直线：

x?x0?tcos?y?y0?tsin? （t为参数）

其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．

根据t的几何意义，有以下结论．

1．设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则AB＝tB?tA＝○

(tB?tA)2?4tA?tB．

2．线段AB的中点所对应的参数值等于○

2．中心在（x0，y0），半径等于r的圆：

tA?tB． 2x?x0?rcos?y?y0?rsin? （?为参数）

3．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：

x?acos?x?bcos? （?为参数）（或）

y?bsin?y?asin?中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程

?x?x0?acos?,(?为参数） ??y?y0?bsin?.4．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：

x?asec?x?btg? （?为参数）（或）

y?btg?y?asec?5．顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：

x?2pt2y?2pt直线的参数方程和参数的几何意义

（t为参数，p＞0）

0过定点P（x0，y0），倾斜角为?的直线的参数方程是 ? （t为参数）．

y?y?tsin?0??x?x?tcos?（三）极坐标系

1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长

度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。

O图1x

2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数?、?对应惟一点P(?，?)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(?，?)（极点除外）的全部坐标为(?,?＋2k?)或（??，?＋，(k?Z)．极点的极径为0，而极角任意取．若对?、?的取值范围加以限制．则(2k?1)?）

??＜?≤?等．除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定?>0，0≤?＜2?或?<0，

极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，

点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．

3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴???0 ⑵??⑷??aa ⑶??? cos?cos?aaa ⑸??? ⑹??

cos(???)sin?sin?

??M（，）M??0M?a?Ox?O图1???0aO图2??acos?图3???acos???M（，）M?a??OMO?aaON(a,?)p图4图5???a??sin?asin?图6??acos(???)4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为(a?0)： ⑴??a ⑵??2acos? ⑶???2acos? ⑷??2asin? ⑸ ???2asin? ⑹??2acos(???)

MMa?O??xMx?? xO?aOa图1??aMa?图2??2acos??图3???2acos?OxM??Mxa?a?(a,?)

O图4??2asin?图5???2asin?Ox图6??2acos(???)

5、极坐标与直角坐标互化公式：

y ?( , ) xMN

H ?x??cos?O222?x?y?????? ????y???tan??(x?0) ?y??sin?x

（直极互化图）

[基础训练A组]

一、选择题

1．若直线的参数方程为?A．

?x?1?2t(t为参数)，则直线的斜率为（）

?y?2?3t2233 B．? C． D．? 3322?x?sin2?2．下列在曲线?(?为参数)上的点是（）

y?cos??sin??A．(,?2) B．(?,) C．(2,3) D．(1,3)