【答案】(1) A?【解析】 【分析】
?6. (2) 3
（1）根据正弦定理得到tanA?3，计算得到答案. 3（2）化简得到cos?B?C???cosC，即A?C，再计算得到a?c?2，代入面积公式得到答案. 【详解】 （1）∵
?3aba3，∴tanA?.∵A??0,??，∴A?. ??6cosAsinBsinA3（2）∵cos?B?C??2sinBsinC?cosC
∴cosBcosC?sinBsinC?2sinBsinC?cosC， ∴cos?B?C???cosC，即cosA?cosC，即A?C. ∵A??6，∴B?2?.∵a?2，∴a?c?2. 3∴S?ABC?【点睛】
113acsinB??2?2??3. 222本题考查了正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.
18．如图，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，?BAD?60?，CD?1，
AD?2，AB?4，点G在线段AB上，AG?3GB，AA1?1.
（1）证明：D1G∥平面BB1C1C. （2）求二面角A1?D1G?A的余弦值.
【答案】(1)见解析 (2) 【解析】 【分析】
531 31（1）连接C1B，证明GBPCDPD1C1得到四边形GBC1D1为平行四边形，故D1GPC1B得到证明. （2）作DH?AB于H，以D点为坐标原点，分别以DH，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，
urr计算平面A1D1G的法向量为m?1,3,33，平面AD1G的法向量为n?1,0,3，计算夹角得到答案.
????【详解】
（1）证明：连接C1B，因为底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB?4?4CD，AG?3GB， 则GBPCDPD1C1，且GB?D1C1?1， 所以四边形GBC1D1为平行四边形，则D1GPC1B.
又C1B?平面BB1C1C，D1G?平面BB1C1C，所以D1G∥平面BB1C1C.
（2）作DH?AB于H，以D点为坐标原点，分别以DH，DC，DD1所 在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz，则
D1?0,0,1?，A1uuuur所以D1A1??3,?1,1，A???3,?1,0，D1?0,0,1?，G??3,2,0，
??uuuur3,?1,0，D1G??uuur3,2,?1，AG??0,3,0?.
?ur设平面A1D1G的法向量为m??x1,y1,z1?，
uuuuvv?ur?D1A1?m?3x1?y1?0,则?uuuu令x1?1，得m?1,3,33. vv??D1G?m?3x1?2y1?z1?0,rADG设平面的法向量为n??x2,y2,z2?， 1??uuuvvr??AG?n?3y2?0,则?uuuu令x2?1，得n?1,0,3. vv??D1G?n?3x2?2y2?z2?0,??urr所以cosm,n?1?9531 ?314?31531. 31因为二面角A1?D1G?A为锐角，所以其余弦值为【点睛】
本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
19．2019年6月，国内的5G运营牌照开始发放.从2G到5G，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下： 用户分类 早期体验用户 预计升级到5G的时段 2019年8月至2019年12月 人数 270人
中期跟随用户 后期用户
2020年1月至202l年12月 2022年1月及以后 530人 200人 我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.
（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率； （2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.
【答案】（1）0.8（2）详见解析（3）事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析 【解析】 【分析】
（1）由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）由题意X的所有可能值为0,1,2，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.
（3）设事件D为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，得到七概率为
P(D)，即可得到结论.
【详解】
（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即
270?530?0.8.
1000
（2）由题意X的所有可能值为0,1,2，
记事件A为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”， 事件B为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”， 由题意可知，事件A，B相互独立，且P(A)?1?40%?0.6，P(B)?1?45%?0.55， 所以P(X?0)?P(AB)?(1?0.6)(1?0.55)?0.18，
P(X?1)?P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)(1?P(B))?(1?P(A)P(B) ?0.6?(1?0.55)?(1?0.6)?0.55?0.49，
P(X?2)?P(AB)?0.6?0.55?0.33，
所以X的分布列为
X P
0 0.18 1 0.49 2 0.33 故X的数学期望E(X)?0?0.18?1?0.49?2?0.33?1.15.
（3）设事件D为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，那么
3C270P(D)?3?0.02.
C1000回答一：事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化. 回答二：事件D发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加. 【点睛】
本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.
220．已知直线l与抛物线C：y?4x交于A，B两点，M?2,y0??y0?0?为弦AB的中点，过M作AB的垂线交x轴于点P. （1）求点P的坐标；
（2）当弦AB最长时，求直线l的方程.
备战2020年高考数学（理科）全真模拟试卷及解析（九）
