故平面A1FG与平面A1BE所成锐二面角的余弦值为10. 5
【点睛】
本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行四边形，这些都是证明线线平行的常方法.
19．随着通识教育理念的推广及高校课程改革的深入，选修课越来越受到人们的重视.国内一些知名院校在公共选修课的设置方面做了许多有益的探索，并且取得了一定的成果.因为选修课的课程建设处于探索阶段，选修课的教学、管理还存在很多的问题，所以需要在通识教育的基础上制定科学的、可行的解决方案，为学校选修课程的改革与创新、课程设置、考试考核、人才培养提供参考.某高校采用分层抽样法抽取了数学专业的50名参加选修课与不参加选修课的学生的成绩，统计数据如下表： 参加选修课 不参加选修课 总计
（1）试运用独立性检验的思想方法分析：你能否有99%的把握认为“学生的成绩优秀与是否参加选修课有关”，并说明理由；
（2）如果从数学专业随机抽取5名学生，求抽到参加选修课的学生人数?的分布列和数学期望（将频率当做概率计算）.
成绩优秀 16 8 24 成绩不够优秀 9 17 26 总计 25 25 50 n(ad?bc)2参考公式：K?，其中n?a?b?c?d.
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2临界值表：
P(K2?k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）没有99%的把握认为“学生的成绩优秀与是否参加选修课有关；（2）分布列见解析，E(?)?【解析】 【分析】
（1）由卡方公式计算K2，再与临界值表对照可得结论； （2）由题意知，数学专业中参加选修课的学生的概率为
5 216?91?.随机抽取5名学生，抽到参加选修课的502学生人数的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，利用二项分布的概率公式可计算出概率得分布列，由期望公式可求得期望． 【详解】
50?(16?17?8?9)2（1）由题意知，K??5.128?6.635.
25?25?24?262?没有99%的把握认为“学生的成绩优秀与是否参加选修课有关”
（2）由题意知，数学专业中参加选修课的学生的概率为
16?91?. 502随机抽取5名学生，抽到参加选修课的学生人数的所有可能取值为0，1，2，3，4，5.
155?1??1?0?1?11?1?2?1? ?P(??0)?C5??,P(??1)?C??,P(??2)?C??55??????????2?2?32?2??2?32?2??2?165151?1?3?1?4?1?5?1? P(??3)?C5??,P(??4)?C??,P(??5)?C?5?5????????2??2?16?2?232?2?32??的分布列为
324505423? 0 1 2 3 4 5 P
1 325 325 165 165 321 32?E(?)?0?【点睛】
1555515?1??2??3??4??5??. 3232161632322本题考查独立性检验，考查随机事件的概率分布列与期望，掌握二项分布的概率公式是解题基础． 20．已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，其渐近线方程是y??(1)求双曲线方程
(2)动直线l经过?A1PA2的重心G，N，与双曲线交于不同的两点M、问:是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论
【答案】(1)所求双曲线方程为(2)所求直线l不存在． 【解析】
本试题主要是考查了双曲线方程的求解，已知直线与双曲线的位置关系的综合运用． （1）利用已知中的渐近线方程是y??=\；
23x，双曲线过点P(6,6) 323x，双曲线过点P(6,6) 3那么设出双曲线的标准方程，然后代入点和a,b的关系得到求解．
（2）假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，那么利用对称性，分别设出点的坐标，那么联立方程组，可知斜率，得到直线的方程，从而验证是否存在． (1)如图，设双曲线方程为
=1 …………1分
由已知得{6262?2?12abb23?a3………………………………………3分
a2?9…………………………………………………5分 解得{2b?12所以所求双曲线方程为
=\分
(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），
∪其重心G的坐标为(2，2）…………………………………………………………8分 假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN， 设M(x1,y1)，N(x2,y2) 则有
x1?x2?412x12?9y12?108y1?y21244{,{???∪k=……………………10分 ，ly1?y2?412x22?9y22?108x1?x2933∪l的方程为y=
4(x－2)+2,12分 3,消去y,整理得x2－4x+28=\
由
∪Δ=16－4×28＜0,∪所求直线l不存在…………………………………………14分 21．已知函数??(??)=???????1???(??+ln??)，??∈??. （1）若??(??)存在极小值，求实数??的取值范围；
3). 2
（2）设??0是??(??)的极小值点，且??(??0)≥0，证明：??(??0)≥2(??0???0
【答案】(1) (0,+∞).(2)见解析. 【解析】 【分析】
（1）先求得导函数，根据定义域为(0,+∞)，可构造函数??(??)=???????1???，通过求导及分类讨论，即可求得??的取值范围。
（2）由（1）令??0????0?1???=0，通过分离参数得??=??0????0?1，同时求对数，根据函数??(??0)≥0，可得1???0?ln??0≥0。构造函数??(??)=1????ln??及??(??)=???ln???1，由导数即可判断??(??)的单调情况，进而求得??(??)的最小值，结合??(??0)=??0????0?1(1???0?ln??0)即可证明不等式成立。
【详解】 （1）??′(??)=
??+1??
(???????1???)(??>0).
令??(??)=???????1???， 则??′(??)=(??+1)?????1>0， 所以??(??)在(0,+∞)上是增函数. 又因为当??→0时，??(??)→???； 当??→+∞时，??(??)→+∞.
所以，当??≤0时，??(??)>0，??′(??)>0，函数??(??)在区间(0,+∞)上是增函数，不存在极值点； 当??>0时，??(??)的值域为(???,+∞)， 必存在??0>0使??(??0)=0.
所以当??∈(0,??0)时，??(??)<0，??′(??)<0，??(??)单调递减； 当??∈(??0,+∞)时，??(??)>0，??′(??)>0，??(??)单调递增； 所以??(??)存在极小值点.
综上可知实数??的取值范围是(0,+∞).
（2）由（1）知??0????0?1???=0，即??=??0????0?1. ????\=\+??_0?1， 所以\
??(??0)=??0????0?1(1???0?ln??0). 由??(??0)≥0，得1???0?ln??0≥0.
令??(??)=1????ln??，显然??(??)在区间(0,+∞)上单调递减. 又??(1)=0，所以由??(??0)≥0，得00)， ??′(??)=1???=
1
???1??
=
???1??
，
当??>1时，??′(??)>0，函数??(??)单调递增； 当0
所以??(??)=???ln???1≥0，即???1≥ln??，即?????1≥??，
所以????0?1≥??0>0，1???0?ln??0≥1???0?(??0?1)=2(1???0)≥0，
3) 22所以??(??0)=??0????0?1(1???0?ln??0)≥??0，?2(1???0)=2(??0???0
备战2020高考数学（理科）全真模拟卷及解析（十四）
