设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t. 由cos∠OAC=
AEAC5 = ，得AQ = (t-4)． AQAO3
541
当AP=AQ时，7-t = (t-4)，解得，t = .
38
11
当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE= AP得，t-4= (7-t)，解得t =5.
22115
当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F，AF= AQ = ×(t-4).
223在Rt△APF中，由cos∠PAF＝
AF33
＝ ，得AF＝ AP AP55
153226
即 ×(t-4)= ×(7-t)，解得t= . 23543∴综上所述，t=1或
41226
或5或 时，△APQ是等腰三角形. 843
53.（2011）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(0，b)(b>0)． P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P'（点P'不在y轴上），连结PP'，P'A，P'C．设点P的横坐标为a． (1)当b＝3时， ①求直线AB的解析式；
②若点P'的坐标是(-1，m)，求m的值；
(2)若点P在第一象限，记直线AB与P'C的交点为D． 当P'D：DC=1：3时，求a的值； (3)是否同时存在a，b，使△P'CA为等腰直角三角形若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．
26
解：(1)①设直线AB的解析式为y=kx+3， 把x＝－4，y＝0代人上式，得－4k+3＝0， ∴k?， ∴y?x?3 ②由已知得点P的坐标是(1，m)， ∴m??1?3， ∴m?3. (2) ∵PP'∥AC，∴△PP'D∽△ACB， ∴
P'DP'D2a14?,即?， ∴a?. DCCAa?43534343434(3)以下分三种情况讨论． ①当点P在第一象限时，
i)若∠AP'C= 90°，P'A= P'C（如图1），过点P'作P'H⊥x轴于点'H，∴PP'=CH=AH=P'H =AC，
∴2a?(a?4)，∴a?．
12OBPC1b1∴??，即?， ∴b?2． OAAC242
124312∵P'H＝PC=AC，△ACP∽△AOB，
ii)若∠P'AC=90°，P'A= CA(如图2)，则PP'=AC，∴2a＝a+4，∴ a＝4． ∵P'A＝PC＝AC, △ACP∽△AOB，
27
∴
OBPCb??1，即?1，∴b?4．
4OAAC
iii)若∠P'CA =90°，则点P'，P都在第一象限，这与条件矛盾， ∴△P'CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形．
②当点P在第二象限时，∠P'CA为钝角（如图3），此时△P'CA不可能是等腰直角三角形．
③当点P在第三象限时，∠PAC为钝角（如图4）， 此时△P'CA不可能是等腰直角三角
4??a?4?a?形，∴所有满足条件的a，b的值为?3或?.
?b?4??b?2
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函数与一次函数中考经典题型
