微专题 圆锥曲线中的范围最值问题
内容回顾
1. 形如y?ax?bx?c(a?0)的二次函数，可通过配方法求最值 2. 利用基本不等式求最值
2a2?b2a?b2ab（1）a?0,b?0，则 ??ab?22a?b（2）a?0,b?0,c?0，则a?b?c?33abc 3.
圆锥曲线范围和最值问题 (1)S?k2?1k2?4（观察法，具备单调性） k2?1(2)S?（换元法，注意换元的范围） 2k2?3(1?k2)2(3)S??(1?2k2)(k2?2)(1?k2)23(1?k2)2[]2（基本不等式） n4m2?1?n2(4)S?（基本不等式） 4m2?1(5)S?4k4?13k2?9?22k?31?k24k4?12k2?9（分离常数） (6)S?k(k(3k2?1)?2?1)(k?3)2k?(3k?11k3（上下同时除以k2，再换)k)(k?k元令t?k?） （7）求导法 题型一 构建目标函数求最值
y2x2
1. 已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的焦距为4且过点(2，－2)．
ab(1)求椭圆C的方程；
→→
(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求OE·OF的取值范围．
y2x2
解：(1)椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，2a＝2＋0＋2＋（2＋2）2
aby2x2
＝42，所以a＝22，b＝2，即椭圆C的方程是＋＝1.
84
→→
(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0，22)，F(0，－22)，OE·OF＝－8.
1
1k
若直线l不垂直于x轴，不妨设l过该椭圆的上焦点，则l的方程为y＝kx＋2，
设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆C的方程得到(2＋k2)x2＋4kx－4＝0， －4k－4
则x1＋x2＝，xx＝， 12
2＋k22＋k2
－4－4k2－8k220→→2
所以OE·OF＝x1x2＋y1y2＝(1＋k)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝－8，
2＋k22＋k22＋k220→→→→
因为0＜≤10，所以－8＜OE·OF≤2，所以OE·OF的取值范围是[－8，2]．
2＋k2题型二 由判别式的限制求最值
2．已知点C为圆?x?1??y2?8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A?1,0?和AP上uuuuruuuruuuruuuur的点M，满足MQ?AP?0，AP?2AM．
2（1）当点P在圆上运动时，判断Q点的轨迹是什么？并求出其方程；
（2）若斜率为k的直线l与圆x2?y2?1相切，与（1）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，且
34，求k的取值范围． ?OF?OH?（其中O是坐标原点）
45【解析】（1）由题意MQ是线段AP的垂直平分线， 所以CP?QC?QP?QC?QA?22?CA?2，
所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴长为22的椭圆，
x2∴a?2，c?1，b?a?c?1，故点Q的轨迹方程是?y2?1．
222（2）设直线l：y?kx?b，F?x1,y1?，H?x2,y2?， 直线l与圆x2?y2?1相切，得bk2?1?1，即b2?k2?1，
?x22??y?1联立?2，消去y得：1?2k2x2?4kbx?2b2?2?0，
?y?kx?b???Δ?16k2b2?4?1?2k2?2?b2?1??8?2k2?b2?1??8k2?0，得k?0，
2b2?24kb，x1x2?， x1?x2??1?2k21?2k2uuruuuuur1?k2??2b2?2????4kb?222?kb?b ∴OF?OH?x1x2?y1y2??1?k?x1x2?kb?x1?x2??b?1?2k21?2k21?k?2k??221?2k2?4k2?k2?1?1?2k21?k231?k24112?k?1?，所以，得， ???k?1?2k241?2k25322 2
?23??32?322332?,?∴，解得?或，故所求范围为??k???k??k??U?,?． 2332233232????题型三 构建目标函数用基本不等式求最值
2x2y22
)3.(2019·武汉市武昌区调研考试)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)经过点P(1,，且离心率为.
ab22(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：y＝x＋m与椭圆C交于两个不同的点A，B，求△OAB面积的最大值(O为坐标原点)．
?a＝2，x
c2【解】 (1)由题意，知?解得所以椭圆C的方程为＋y＝1.
2＝，b＝1，a2
?a＝b＋c，
?????
22
2
2
2
2
2
11
＋2＝1，2
a2b
x22
(2)将直线l的方程y＝x＋m代入椭圆C的方程＋y＝1，
2
整理得3x2＋4mx＋2(m2－1)＝0.则Δ＝(4m)2－24(m2－1)>0，得m2<3. 2（m2－1）4m
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，
33所以|AB|＝2·（x1＋x2）－4x1x2＝2·
2
2（m－1）?－4m?－4·＝2·?3?3|m|
， 2
22
24－8m24
＝3－m2，又93
原点O(0，0)到直线AB：x－y＋m＝0的距离d＝
114|m|2
所以S△OAB＝|AB|·d＝×3－m2×＝m2（3－m2）.
22323因为
m2(3－m2)≤
m2?3?m2293
()＝4，当且仅当m2＝3－m2，即m2＝2时取等号，
2所以S△OAB≤
2322×＝，即△OAB面积的最大值为. 3222
题型四 构建目标函数用配方法求最值
x22
4.已知椭圆＋y＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝kx＋1对称．
4
(1)求实数k的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)． 解：(1)由题意知k≠0，
3
1
y＝－x＋m，
k1
可设直线AB的方程为y＝－x＋m.由2消去y，
kx
＋y2＝1，4
???
得(k2＋4)x2－8mkx＋4k2(m2－1)＝0.
1x224
因为直线y＝－x＋m与椭圆＋y＝1有两个不同的交点，所以Δ>0，解得m2<1＋2，①
k4kk2＋44kmk2m,2)代入直线方程y＝kx＋1，解得m＝－3k2.② 将线段AB中点M(2k?4k?4由①②得k<－
22或k>. 22
方法二 中点在椭圆内 ，A(x1,y1),B(x2,y2)，AB的中点C(x0,y0)
4??1b2x0x??2?x0?0????2?3k2?ykay，解之得，，??0?1 014?y???y?kx?100?0?3?
1
(2)令t＝－∈(－2，0)∪(0，2)，
k则|AB|＝
8－4t4＋7t2＋211＋2|xA－xB|＝1＋t2，且O到直线AB的距离为d＝k3（1＋4t2）
2
|m|11＋2
k
＝.设
31＋t2
1＋4t2
144
△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝|AB|·d＝－4t4＋7t2＋2＝2997
t2＝时，等号成立．
8故△AOB面积的最大值为1. 方法总结：
1.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
78149
2t2－?＋≤×＝1，当且仅当－?4?1694?
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 2.圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 高考链接：
4
1．(2018·高考浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； (2)若P是半椭圆
x2＋
y2
＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围． 4
22yy解：(1)设P(x0，y0)，A(1,y1)，B(2,y2).
4412
y＋x04y?y02因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程()＝4·2
2即y2－2y0y＋8x0－y20＝0的两个不同的实根．所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y轴．
??y1＋y2＝2y0，(2)由(1)可知?
?y1y2＝8x0－y2?0，
132
22所以|PM|＝(y21＋y2)－x0＝y0－3x0，|y1－y2|＝22（y0－4x0）. 84
3
1322
因此，△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y0－4x0)2.
24
因为
y202x0＋＝1(x0<0)，所以
4
2y25]，因此，△PAB面积的取值范围是[62,0－4x0＝－4x0－4x0＋4∈[4，
1510]. 4x2y222.（2017山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：2?2?1?a?b?0?的离心率为，焦距为2．
2ab（Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）如图，动直线l：y?k1x?且k1k2?3交椭圆E于A,B两点，C是椭圆E上一点，直线OC 的斜率为k2，22，M是线段OC延长线上一点，且MC:AB?2:3，eM的半径为MC，OS,OT是eM的4两条切线，切点分别为S,T．求?SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．
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微专题 圆锥曲线中的范围最值问题
