本题考查直线与抛物线相切问题，考查导数的几何意义，考查抛物线的几何性质．利用导数几何意义求出切点坐标，利用焦半径公式求出焦半径，本题难度一般．
10．如图，在三棱锥D－ABC中，CD?底面ABC，VABC为正三角形，若AEPCD，则三棱锥D－ABC与三棱锥E－ABC的公共部分构成的几何体的外AB?CD?AE?2，接球的体积为（ ）
A．163? 9B．323? 27C．
20? 3D．
23? 27【答案】B
【解析】已知条件说明ACDE是正方形，记AD与CE的交点为M，则?MAC是等腰直角三角形，N是斜边AC的中点，N是?MAC的外心，BN?平面MAC，设O是?BAC的外心，即
BO?2，则O是M?ABC的外接球的球心，由此可得球的半ON径，从而得球的体积． 【详解】
如图，设AD与CE的交点为M，三棱锥M?ABC是三棱锥D－ABC与三棱锥E－ABC的公共部分．
设N是AC中点，连接MN,BN，O在BN上，且∴O是?ABC的外心．
由CD?底面ABC，得CD?AC，又AE//CD,AE?CD，∴ACDE是正方形，∴
BO?2，∵?ABC是正三角形，ONAD?CE，即?MAC是等腰直角三角形，N是?MAC的外心．
∵CD?底面ABC，BN?底面ABC，∴CD?BN，
?ABC是正三角形，N是AC中点，∴BN?AC，ACICD?C，∴BN?平面
ACDE，即BN?平面ACM，∵O是?ABC的外心，∴O是M?ABC的外接球的
球心， 其半径为R?442323232323，球体积为V??R3???()??． ??2?33327323第 6 页 共 22 页
故选：B．
【点睛】
本题考查球的体积，解题关键首先是确定三棱锥D－ABC与三棱锥E－ABC的公共部分是三棱锥M?ABC，其次确定三棱锥M?ABC的外接球的球心．三棱锥的外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．
x2y211．设双曲线2?2?1?a?0,b?0? 的左右焦点分别为F1,F2，过F1的直线分别
ab交双曲线左右两支于点M，N.若以MN为直径的圆经过点F2且MF2?NF2，则双曲线的离心率为（ ） A．6 【答案】C
【解析】由题意可得△MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|?B．5 C．3
D．2
2m，
运用双曲线的定义，求得|MN|＝4a，可得m，再由勾股定理可得a，c的关系，即可得到所求离心率． 【详解】
若以MN为直径的圆经过右焦点F2，
uuuuruuuur则MF，又|MF2|＝|NF2|， 1?NF2?0可得△MNF2为等腰直角三角形， 设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|?2m，
由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF1|﹣|NF2|＝2a， 两式相加可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a， 即有m＝22a， 在直角三角形HF1F2中可得
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4c2＝4a2+（2a+22a﹣2a）2， 化为c＝3a， 即e?2
2
c?3． a故选C．
【点睛】
本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用等腰直角三角形的性质和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．
12．已知函数f(x)是定义在[?100,100]的偶函数，且f(x?2)?f(x?2).当x?[0,2]时，f(x)?(x?2)e，若方程[f(x)]?mf(x)?1?0有300个不同的实数根，则实数
x2m的取值范围为（ ）
A．??e?,?【答案】A
【解析】首先由已知确定函数f(x)的周期是4，利用导数研究f(x)在[0,2]上的性质，单调性、极值，结合偶函数性质作出f(x)在[?2,2]上的图象，f(x)的定义域是
??1e5?? 2?B．??e?,??
e2??15??C．(??,?2)
D．??e?,?2?
??1e??[?100,100]含有50个周期，方程[f(x)]2?mf(x)?1?0有300个不同的实数根，那
么在f(x)的一个周期内有6个根，令f(x)?t，可知方程t2?mt?1?0有两个不等实根t1,t2，且t1?(?e,?2)，t2?(?2,0)，由二次方程根的分布知识可得解． 【详解】
x由f(x?2)?f(x?2)知函数的周期为4，当x?[0,2]时，f(x)?(x?2)e，则
f'(x)?(x?1)ex，当0?x?1时，f'(x)?0，f(x)递减，当1?x?2时，f'(x)?0，
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f(x)递增，f(x)极小值?f(1)??e，又f(x)是偶函数，作出f(x)在[?2,2]上的图象，
如图．
函数f(x)的周期是4，定义域为[?100,100]，含有50个周期，
方程[f(x)]?mf(x)?1?0有300个不同的实数根，因此在一个周期内有6个根（这里f(?2)?0，?2不是方程的根）．
令f(x)?t，方程t2?mt?1?0有两个不等实根t1,t2，且t1?(?e,?2)，t2?(?2,0)，
2?g(?e)?0
?152设g(t)?t?mt?1，则?g(?2)?0，解得?e??m??．
e2?g(0)?0
?
故选：A．
【点睛】
本题考查函数的周期性、奇偶性、对称性，二次方程根的分布，函数的零点问题，考查了分类讨论思想，数形结合思想，体现的数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养．
二、填空题
13．高一新生健康检查的统计结果：体重超重者占40%，血压异常者占15%，两者都有的占8%，今任选一人进行健康检查，已知此人超重，他血压异常的概率为_________. 【答案】0.2
【解析】体重超重者占40%中有8%血压异常，注意这里的40%和8%都是以高一新生总人数为基础求得的，因此题中所求概率相当于8%在40%这个条件里占多少． 【详解】
记事件A表示体重超重，事件B表示血压异常，则P(A)?40%，P(AIB)?8%，
P(B|A)?P(AIB)0.08??0.2．
P(A)0.4第 9 页 共 22 页
故答案为：0.2． 【点睛】
本题考查条件概率，考查学生的运算求解能力、数据分析能力． 14．若cos?2????1??x??，则sin?x?3?6?3????__________. ?【答案】? 【解析】由【详解】
13?6?x?(x?2??)??，用诱导公式求解． 322????1)?sin[??(?x)]??cos(?x)??． 326631故答案为：?．
3sin(x?【点睛】
本题考查诱导公式，解题关键是确定“已知角”和“未知角”之间的关系，从而确定选用求解的公式．
4a?bex?e?xf(4a)?f(b?1)?015．已知函数f(x)?x，若正实数a，b满足，则的?x2abe?e最小值为_______. 【答案】8
【解析】确定函数f(x)是奇函数，再确定函数的单调性，这样可由f(4a)?f(b?1)?0得到a,b满足的等量关系．由基本不等式求得最小值． 【详解】
ex?e?xe?x?ex∵f(x)?x，∴f(?x)??x??f(x)，∴f(x)是奇函数． ?xxe?ee?e2ex?e?xe2x?1?1?又f(x)?x，设x1?x2，则e2x1?e2x2，即?2x?x2xe?1e?ee?11?e2x1?1?e2x2?1，
∴
2222?1??1?，∴，即f(x1)?f(x2)，∴f(x)是R上2x12x22x12x2e?1e?1e?1e?1的增函数．
∴由f(4a)?f(b?1)?0得f(4a)??f(b?1)?f(1?b)，∴4a?1?b，即
4a?b?1．
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2024届内蒙古鄂尔多斯市第一中学高三第四次调研考试数学(理)试题(解析版)
