本题考查直线与抛物线相切问题,考查导数的几何意义,考查抛物线的几何性质.利用导数几何意义求出切点坐标,利用焦半径公式求出焦半径,本题难度一般.
10.如图,在三棱锥D-ABC中,CD?底面ABC,VABC为正三角形,若AEPCD,则三棱锥D-ABC与三棱锥E-ABC的公共部分构成的几何体的外AB?CD?AE?2,接球的体积为( )
A.163? 9B.323? 27C.
20? 3D.
23? 27【答案】B
【解析】已知条件说明ACDE是正方形,记AD与CE的交点为M,则?MAC是等腰直角三角形,N是斜边AC的中点,N是?MAC的外心,BN?平面MAC,设O是?BAC的外心,即
BO?2,则O是M?ABC的外接球的球心,由此可得球的半ON径,从而得球的体积. 【详解】
如图,设AD与CE的交点为M,三棱锥M?ABC是三棱锥D-ABC与三棱锥E-ABC的公共部分.
设N是AC中点,连接MN,BN,O在BN上,且∴O是?ABC的外心.
由CD?底面ABC,得CD?AC,又AE//CD,AE?CD,∴ACDE是正方形,∴
BO?2,∵?ABC是正三角形,ONAD?CE,即?MAC是等腰直角三角形,N是?MAC的外心.
∵CD?底面ABC,BN?底面ABC,∴CD?BN,
?ABC是正三角形,N是AC中点,∴BN?AC,ACICD?C,∴BN?平面
ACDE,即BN?平面ACM,∵O是?ABC的外心,∴O是M?ABC的外接球的
球心, 其半径为R?442323232323,球体积为V??R3???()??. ??2?33327323第 6 页 共 22 页
故选:B.
【点睛】
本题考查球的体积,解题关键首先是确定三棱锥D-ABC与三棱锥E-ABC的公共部分是三棱锥M?ABC,其次确定三棱锥M?ABC的外接球的球心.三棱锥的外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上.
x2y211.设双曲线2?2?1?a?0,b?0? 的左右焦点分别为F1,F2,过F1的直线分别
ab交双曲线左右两支于点M,N.若以MN为直径的圆经过点F2且MF2?NF2,则双曲线的离心率为( ) A.6 【答案】C
【解析】由题意可得△MNF2为等腰直角三角形,设|MF2|=|NF2|=m,则|MN|?B.5 C.3
D.2
2m,
运用双曲线的定义,求得|MN|=4a,可得m,再由勾股定理可得a,c的关系,即可得到所求离心率. 【详解】
若以MN为直径的圆经过右焦点F2,
uuuuruuuur则MF,又|MF2|=|NF2|, 1?NF2?0可得△MNF2为等腰直角三角形, 设|MF2|=|NF2|=m,则|MN|?2m,
由|MF2|﹣|MF1|=2a,|NF1|﹣|NF2|=2a, 两式相加可得|NF1|﹣|MF1|=|MN|=4a, 即有m=22a, 在直角三角形HF1F2中可得
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4c2=4a2+(2a+22a﹣2a)2, 化为c=3a, 即e?2
2
c?3. a故选C.
【点睛】
本题考查双曲线的定义、方程和性质,主要是离心率的求法,注意运用等腰直角三角形的性质和勾股定理,考查运算能力,属于中档题.
12.已知函数f(x)是定义在[?100,100]的偶函数,且f(x?2)?f(x?2).当x?[0,2]时,f(x)?(x?2)e,若方程[f(x)]?mf(x)?1?0有300个不同的实数根,则实数
x2m的取值范围为( )
A.??e?,?【答案】A
【解析】首先由已知确定函数f(x)的周期是4,利用导数研究f(x)在[0,2]上的性质,单调性、极值,结合偶函数性质作出f(x)在[?2,2]上的图象,f(x)的定义域是
??1e5?? 2?B.??e?,??
e2??15??C.(??,?2)
D.??e?,?2?
??1e??[?100,100]含有50个周期,方程[f(x)]2?mf(x)?1?0有300个不同的实数根,那
么在f(x)的一个周期内有6个根,令f(x)?t,可知方程t2?mt?1?0有两个不等实根t1,t2,且t1?(?e,?2),t2?(?2,0),由二次方程根的分布知识可得解. 【详解】
x由f(x?2)?f(x?2)知函数的周期为4,当x?[0,2]时,f(x)?(x?2)e,则
f'(x)?(x?1)ex,当0?x?1时,f'(x)?0,f(x)递减,当1?x?2时,f'(x)?0,
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f(x)递增,f(x)极小值?f(1)??e,又f(x)是偶函数,作出f(x)在[?2,2]上的图象,
如图.
函数f(x)的周期是4,定义域为[?100,100],含有50个周期,
方程[f(x)]?mf(x)?1?0有300个不同的实数根,因此在一个周期内有6个根(这里f(?2)?0,?2不是方程的根).
令f(x)?t,方程t2?mt?1?0有两个不等实根t1,t2,且t1?(?e,?2),t2?(?2,0),
2?g(?e)?0
?152设g(t)?t?mt?1,则?g(?2)?0,解得?e??m??.
e2?g(0)?0
?
故选:A.
【点睛】
本题考查函数的周期性、奇偶性、对称性,二次方程根的分布,函数的零点问题,考查了分类讨论思想,数形结合思想,体现的数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养.
二、填空题
13.高一新生健康检查的统计结果:体重超重者占40%,血压异常者占15%,两者都有的占8%,今任选一人进行健康检查,已知此人超重,他血压异常的概率为_________. 【答案】0.2
【解析】体重超重者占40%中有8%血压异常,注意这里的40%和8%都是以高一新生总人数为基础求得的,因此题中所求概率相当于8%在40%这个条件里占多少. 【详解】
记事件A表示体重超重,事件B表示血压异常,则P(A)?40%,P(AIB)?8%,
P(B|A)?P(AIB)0.08??0.2.
P(A)0.4第 9 页 共 22 页
故答案为:0.2. 【点睛】
本题考查条件概率,考查学生的运算求解能力、数据分析能力. 14.若cos?2????1??x??,则sin?x?3?6?3????__________. ?【答案】? 【解析】由【详解】
13?6?x?(x?2??)??,用诱导公式求解. 322????1)?sin[??(?x)]??cos(?x)??. 326631故答案为:?.
3sin(x?【点睛】
本题考查诱导公式,解题关键是确定“已知角”和“未知角”之间的关系,从而确定选用求解的公式.
4a?bex?e?xf(4a)?f(b?1)?015.已知函数f(x)?x,若正实数a,b满足,则的?x2abe?e最小值为_______. 【答案】8
【解析】确定函数f(x)是奇函数,再确定函数的单调性,这样可由f(4a)?f(b?1)?0得到a,b满足的等量关系.由基本不等式求得最小值. 【详解】
ex?e?xe?x?ex∵f(x)?x,∴f(?x)??x??f(x),∴f(x)是奇函数. ?xxe?ee?e2ex?e?xe2x?1?1?又f(x)?x,设x1?x2,则e2x1?e2x2,即?2x?x2xe?1e?ee?11?e2x1?1?e2x2?1,
∴
2222?1??1?,∴,即f(x1)?f(x2),∴f(x)是R上2x12x22x12x2e?1e?1e?1e?1的增函数.
∴由f(4a)?f(b?1)?0得f(4a)??f(b?1)?f(1?b),∴4a?1?b,即
4a?b?1.
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2020届内蒙古鄂尔多斯市第一中学高三第四次调研考试数学(理)试题(解析版)



