奥数专题——裂项法(一)
同学们知道:在计算分数加减法时,两个分母不同得分数相加减,要先通分化成同分母分数后再计算。 (一)阅读思考
例如,这里分母3、4就是相邻得两个自然数,公分母正好就是它们得乘积,把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用得等式: 即 或
下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求与得问题。 【典型例题】 例1、 计算:
1111 ???……?1985?19861986?19871987?19881994?1995
分析与解答:
111??1985?198619851986111??1986?198719861987111 ??1987?198819871988……111??1994?199519941995
上面1２个式子得右面相加时,很容易瞧出有许多项一加一减正好相互抵消变为0,这一来问题解起来就十分方便了。
11111???…??1985?19861986?19871987?19881995?19961996?1997
1?1997111111111??????……???198519861986198719871988199519961996
111???199719971985?
像这样在计算分数得加、减时,先将其中得一些分数做适当得拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化得方法,我们称为裂项法。 例2、 计算： 公式得变式
当分别取１，2，3，……,1０0时,就有
12?11?212?1?22?312 ?1?2?33?412?1?2?3?44?512?1?2?…?100100?101???…?11?21?2?31?2?…?10022222????…??1?22?33?499?100100?10111111???…??) ?2?(1?22?33?499?100100?101111111111?2?(1??????…????)22334991001001011?2?(1?)101
例3、 设符号( )、＜ >代表不同得自然数，问算式中这两个符号所代表得数得数得积就是多少？
分析与解：减法就是加法得逆运算，就变成，与前面提到得等式相联系，便可找到一组解,即
另外一种方法
设都就是自然数,且,当时，利用上面得变加为减得想法，得算式。 这里就是个单位分数,所以一定大于零,假定，则,代入上式得,即。
1111
又因为就是自然数,所以一定能整除,即就是得约数,有个就有个,这一来我们便得到一个比更广泛得等式,即当，，就是得约数时,一定有,即
上面指出当,,就是得约数时,一定有,这里，36共有１,２，３,4,6,9，12,18,36九个约数。 当时,, 当时,, 当时,, 当时,, 当时,, 当时,, 当时,， 当时,, 当时，,
故( )与< >所代表得两数与分别为49,32,27,25。
【模拟试题】（答题时间:20分钟)
二、尝试体验: １、 计算: 2、 计算:
11111111111111 ?????????????3610152128364555667891105120 3、 已知就是互不相等得自然数,当时,求。 ?【试题答案】 1、 计算: 算:
２
、
计
11111111111111 ?????????????3610152128364555667891105120
奥数专题——裂项法(一)(含答案)-
