正弦定理與餘弦定理
重點整理：面積公式 1. 若?ABC之三邊長為a,b,c，r為其內切圓半徑，s?a?b?c，則2111其面積=absinC=bcsinA=casinB(已知兩邊及其夾角時) 222=s(s?a)(s?b)(s?c)(Heron公式)(已知三角形三邊) =rs。(可用於已知三角形三邊求內切圓半徑)
重要例題：
1. 設?ABC中，?A?30?,b?4,c?6，求其面積。
2. 在?ABC中，?ABC?120?，BD為?ABC的分角線且交AC於D點，
試證：
111??。若AB?3，AC?5，則AD? 。 BABCBD
類1. ?ABC中，若AB?6,AC?8,?A?120?，則其面積為 。 類2. △ABC中，AB?2,BC?5，面積為4，則cos?ABC? 。 類3. 單位圓之內接正三角形面積為 。
類4. 若?為四邊形ABCD之對角線AC與BD的一個交角，試證：四邊
1形ABCD面積=?AC?BD?sin?。
2類5. 凸四邊形ABCD中，AB?2，BC?6，CD?4，BD?6，
?ABD?60?，則四邊形的面積= 。
333Ans: 1. 123，2. ?，3. ，4. 略，5. 33?82。
45 重點整理：正餘弦定理 2. 正弦定理：△ABC中，AB?c,BC?a,CA?b，R為其外接圓半徑，則 1abc?2R2sinAsinBsinC。 3. △ABC面積=bcsinA?24Rabc???2R。 sinAsinBsinC
4. 餘弦定理：△ABC中，AB?c,BC?a,CA?b，則b2?c2?a2。同理可寫出 a?b?c?2bccosA或寫成cosA?2bcb2? ；c2? 。 222 5. 鈍角三角形的判別：三角形ABC中，?A為鈍角若且唯若b2?c2?a2。 6. 海龍公式：設?ABC的三邊長為a,b,c，s?a?b?c，則其面積為2s(s?a)(s?b)(s?c)。 7. 投影定理：△ABC中，AB?c,BC?a,CA?b，則a?bcosC?ccosB，b? ，c? 。
重要例題：
1. ?ABC中，?C?120?,?B?30?,AC?4，試解?ABC。
2. 設三角形兩邊長為10，6，夾角為60?，則第三邊長為 ，三
角形面積為 。 3. 在?ABC中，已知a?2,b?2,c?3?1，解此三角形。
4. 已知二邊與一角b?103,c?10,B?120?，則?ABC之面積
＝ 。
類1. 已知a?23，b?6，c?105?，試解?ABC。
類2. ?ABC中，已知A?60?,B?45?，其最短邊為2公尺，試求(1)其他
二邊的長為 ，(2)面積為 。 類3. 已知?ABC三邊長為a?2,b?1,c?23?1，求三內角。 23?3，3. 2Ans: 1. c?3?3,?A?45?,?B?30?，2. (1)6,3?1,(2)
?A?30?,?B?135?,?C?15?。
5. △ABC三邊長為a,b,c，且a?2b?c?0，3a?b?2c?0，則
sinA?sinB? ；(3) 最
sinC大角為 ；(4) cosC? ；(5)若△ABC周長為15，則其面積為 ；(6)△ABC之外接圓面積為 ；(7)△ABC內
(1)sinA:sinB:sinC= ； (2)
切圓面積為 。
高中数学1.1 正弦定理和余弦定理 教案4人教版必修5
