边缘，其半径均为
??utan??0.439h (5)
根据题意，圆1和圆2内的光线必须能全部进入透镜．首先，圆1的K点（见图2）是否落在L1上？由几何关系可知
???0.439?0.146?h?0.585h?r?0.75h (6) O1K???O1S1故从S1发出的光束能全部进入L1．为了保证全部光束能进入透镜组合，对L1和L2进
行加工时必须保留圆1和圆2内的透镜部分．
下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法．在O1和O2之间作垂直于O1O2且分别与圆1和圆2相切的切线QQ?和NN?．若沿位于QQ?和NN?之间且与它们平行的任意直线TT?对透镜L1和L2进行切割，去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部．同理，对L2的下半部和L3进行切割，然后将L2的下半部和L3粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜．这个组合透镜可以将S1、S2、S3发出的全部光线都会聚到P点．
现在计算QQ?和NN?的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件．设透镜L1被切去部分沿O1O2方向的长度为x1，透镜L2被切去部分沿O1O2方向的长度为x2，如图2所示，则对任意一条切割线TT?， x1、x2之和为
d?x1?x2?2r?O1O2?0.646h
（7）
由于TT?必须在QQ?和NN?之间，从图2可看出，沿QQ?切割时，x1达最大值(x1M)，x2达最小值(x2m)，
?O1?? x1M?r?S1?O1的值，得 代入r，??和S1 (8) x1M?0.457h 代入(7)式，得
x2m?d?x1M?0.189h (9)
由图2可看出，沿NN?切割时，x2达最大值(x2M)，x1达最小值(x1m)，
x2M?r??
代入r和??的值，得 (10) x2M?0.311h
x1m?d?x2M?0.335h （11）
由对称性，对L3的加工与对L1相同，对L2下半部的加工与对上半部的加工相同．
评分标准：
本题20分．第1问10分，其中（2）式5分，（3）式5分，
第2问10分，其中(5)式3分，(6)式3分，(7)式2分，(8)式、(9)式共1分，(10)式、(11)式共1分．
如果学生解答中没有(7)—(11)式，但说了“将图2中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留，透镜其它部分可根据需要磨去（或切割掉）”给3分，再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证O1O2=O1O2=0.854h，再给1分，即给(7)—(11)式的全分（4分）．
五、1．解法Ⅰ：
?的位置应位于OP如图1所示，S为原空腔内表面所在位置，q11的延长线上的某点
?的位置应位于OP2的延长线上的某点B2处．设A1为S面上的任意一点，根据B1处，q2题意有 kq1A1P1q2A1P2?k?q1A1B1?q2A1B2A1 ?0 (1)
B2 O ??a a P1 P2 SR图1 B1
k?k?0 (2)
怎样才能使 (1) 式成立呢？下面分析图1中?OP1A1与?OA1B1的关系．
?的位置B1使下式成立，即 若等效电荷q1 即 则 有
2OP1?OB1＝R
(3) (4)
(5)
OP1OA1?OA1OB1
△OPOA1B1 1A1∽△A1P1A1B1?OP1OA1?a R? 由 (1)式和 (5)式便可求得等效电荷q1
???q1Rq1 a(6)
?的位置B1到原球壳中心位置O的距离 由 (3) 式知，等效电荷q1
R2OB1?
a(7)
同理，B2的位置应使△OP2A1∽△OA1B2，用类似的方法可求得等效电荷
???q2Rq2 a(8)
?的位置B2到原球壳中心O位置的距离 等效电荷q2 解法Ⅱ：
R2OB2?
a(9)
?两者在A1点产生的在图1中，设A1P1?r1，A1B1?r1?，OB1?d．根据题意，q1和q1电势和为零．有
kq1q?） ?k1?0 （1＇
r1r1?式中
由（1＇）、（2＇）、（3＇）式得
2?(R2?a2?2Racos?) （4＇） q1(R2?d2?2Rdcos?)?q12 r1?(R2?a2?2Racos?)12 （2＇）
r1??(R2?d2?2Rdcos?)12
（3＇）
（4＇）式是以cos?为变量的一次多项式，要使（4＇）式对任意?均成立，等号两边的相
应系数应相等，即
由（5＇）、（6＇）式得
解得
（7＇） ad2?(a2?R2)d?aR2?0
(a2?R2)?(a2?R2)d?
2a2?2(R2?a2) （5＇） q1(R2?d2)?q12?a （6＇） q1d?q12（8＇）
由于等效电荷位于空腔外部，由（8＇）式求得 由（6＇）、（9＇）式有
R22??2q1 q1a2R2d?
a（9＇）
（10＇）
考虑到（1＇）式，有
同理可求得
R2OB2? （12＇）
a???q1Rq1 （11＇） a
???q2Rq2 a（13＇）
?、q2、q2?共同产生，即 2．A点的位置如图2所示．A的电势由q1、q1
?1R11R1???UA?kq????PAaBAPAaBA?
122??1(10)
因
22P1A?r?2racos??a
?R22B1A?r?2r??a?2??R2??cos??????a? ???22A B2 P2A?r?2racos??a ?R2??R2?2???B2A?r?2r??a?cos???a? ????2O ??a a P1 P2 RS 图2
B1
代入 (10) 式得
?1R?U?kq? A ?222224ar?2raRcos??R?r?2racos??a ?1r?2racos??a22???
2224?ar?2raRcos??R?R(11)
评分标准：
本题20分．第1问18分，解法Ⅰ中(1)、(2)、(6)、(7)、(8)、(9) 式各3分．解法Ⅱ的评分可参考解法Ⅰ．
第2问2分，即(11)式2分．
六、令I表示题述极短时间?t内挡板对C冲量的大小，因为挡板对C无摩擦力作用，可知冲量的方向垂直于DE，如图所示；I?表示B、C间的杆对B或C冲量的大小，其方向沿杆方向，对B和C皆为推力；vC表示?t末了时刻C沿平行于DE方向速度的大小，vB表示?t末了时刻B沿平行于DE方向速度的大小，vB?表示?t末了时刻B沿垂直于DE方向速度的大小．由动量定理， 对C有
对B有
I?sin??mvC I?I?cos??mv I?sin??mvB
A B???? I D C E (1) (2) (3)
对AB有
由以上五式，可解得
3?sin2?I?mv 21?3sin?I?cos??2m?v?vB??
(4) (5)
因为B、C之间的杆不能伸、缩，因此B、C沿杆的方向的分速度必相等．故有
vCsin??vB?cos??vBsin?
(6)
评分标准：
本题20分． (1)、(2)、(3)、(4)式各2分． (5)式7分，(6)式5分．
七、解法Ⅰ：
当金属杆ab获得沿x轴正方向的初速v0时，因切割磁力线而产生感应电动势，由两金属杆与导轨构成的回路中会出现感应电流．由于回路具有自感系数，感应电流的出现，又会在回路中产生自感电动势，自感电动势将阻碍电流的增大，所以，虽然回路的电阻为零，但回路的电流并不会趋向无限大，当回路中一旦有了电流，磁场作用于杆ab的安培力将使ab杆减速，作用于cd杆的安培力使cd杆运动．
设在任意时刻t，ab杆和cd杆的速度分别为v1和v2（相对地面参考系S），当v1、v2为正时，表示速度沿x轴正方向；若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正方向，则因两杆作切割磁力线的运动而产生的感应电动势
E?Bl?v1?v2?
(1)
当回路中的电流i随时间的变化率为?i?t时，回路中的自感电动势
EL??L?i ?t(2)
根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有
E?EL?0
(3)
金属杆在导轨上运动过程中，两杆构成的系统受到的水平方向的合外力为零，系统的质心作匀速直线运动．设系统质心的速度为VC，有 得
VC?v0 2mv0?2mVC
(4)
(5)
VC方向与v0相同，沿x轴的正方向．
现取一新的参考系S?，它与质心固连在一起，并把质心作为坐标原点O?，取坐标轴O?x?与x轴平行．设相对S?系，金属杆ab的速度为u，cd杆的速度为u?，则有
v1?VC?u v2?VC?u?
(6) (7)
因相对S?系，两杆的总动量为零，即有
mu?mu??0
由(1)、(2)、(3)、(5)、(6) 、(7) 、(8)各式，得
2Blu?L?i ?t(8) (9)
在S?系中，在t时刻，金属杆ab坐标为x?，在t＋?t时刻，它的坐标为x???x?，则由速度的定义
代入 (9) 式得
u??x? ?t(10) (11)
2Bl?x??L?i
若将x?视为i的函数，由（11）式知?x??i为常数，所以x?与i的关系可用一直线方程表示
x??Li?b 2Bl12(12)
式中b为常数，其值待定．现已知在t＝?时刻，金属杆ab在S?系中的坐标x?＝x0，这时i = 0，故得 或
x??i?L1i?x0 2Bl2(13) (14)
2Bl?1??x??x0? L?2?1?1?x?表示在任意时刻t，杆ab的位置，故?x??x0?x0表示t＝?时刻金属杆ab的位置．
2?2?就是杆ab在t时刻相对初始位置的位移，用X表示，
X?x??1x0 2(15)
当X>0时，ab杆位于其初始位置的右侧；当X<0时，ab杆位于其初始位置的左侧．代入(14)式，得
这时作用于ab杆的安培力
2B2l2F??iBl??X
Li?2BlX L(16)
(17)
ab杆在初始位置右侧时，安培力的方向指向左侧；ab杆在初始位置左侧时，安培力的方向指向右侧，可知该安培力具有弹性力的性质．金属杆ab的运动是简谐振动，振动的周期
T?2π?m 222BlL?(18)
在任意时刻t， ab杆离开其初始位置的位移
第21届全国中学生物理竞赛复赛试卷（含答案）
