专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ
第六讲 函数综合及其应用
一、选择题
?|x|?2,x?1,x?1．（2017天津）已知函数f(x)??设a?R，若关于x的不等式f(x)≥|?a|22x?,x≥1.?x?在R上恒成立，则a的取值范围是
A．[?2,2] B．[?23,2] C．[?2,23] D．[?23,23] 2．（2016全国II卷）已知函数f(x)（x∈R）满足f(x)?f(2?x)，若函数y?|x?2x?3|与y=f(x)图像的交点为(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xm,ym)，则
2?x=
ii?1
m
A．0 B．m C．2m D．4m 3．（2016浙江）已知函数f(x)满足：f(x)?x且f(x)?2,x?R.
A．若f(a)?b，则a?b B．若f(a)?2，则a?b C．若f(a)?b，则a?b D．若f(a)?2，则a?b
4．（2015北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
bbx
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为
A．6升 B．8升 C．10升 D．12升
5．(2015浙江)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m）分别为x，y，z，且x?y?z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m）分别为a，b，c，且a?b?c．在不同的
22
方案中，最低的总费用（单位：元）是
A．ax?by?cz B．az?by?cx C．ay?bz?cx D．ay?bx?cz 6．（2014北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p?at?bt?c（a、b、c是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
p0.80.70.52t
7．（2014湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率
O345为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A．
p?q(p?1)(q?1)?1 B． C．pq D．(p?1)(q?1)?1 228．（2014陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），
已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为
y(千米)y=-x湖面OA．y?y=3x-62x(千米)
131211x?x?x B．y?x3?x2?3x 2222131312C．y?x?x D．y?x?x?2x
4429．（2014陕西）如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米
处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为
y25-5xO-2A 地面跑道133234x?x B．y?x?x 1255125533331C．y?x?x D．y??x?x
1251255A．y?二、填空题
2??x?2x?a?2，x≤0，10．(2018天津)已知a?R，函数f(x)??2若对任意x?[?3,??)，
???x?2x?2a，x?0．f(x)≤|x|恒成立，则a的取值范围是____．
11．（2017新课标Ⅰ）已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的
直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA?AC，SB?BC，三棱锥S?ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
12．（2017北京）已知x?0，y?0，且x?y?1，则x2?y2的取值范围是______． 13．（2015江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8
的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ．
14．（2014山东）已知函数y?f(x)(x?R)，对函数y?g?x??x?I?，定义g?x?关于
f?x?的“对称函数”为函数y?h?x??x?I?，y?h?x?满足：对任意x?I，两个
点x,h?x?,x,g?x?关于点x,f?x?对称，若h?x?是g?x????????4?x2关于
，且h?x??g?x?恒成立，则实数b的取值范围是___． f?x??3x?b的“对称函数”
15．（2014福建）要制作一个容器为4m，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面
造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）
3
16．（2014四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数?(x)组成的集合：对于函数?(x)，存在一个正数M，使得函数?(x)的值域包含于区间
[?M,M]．例如，当?1(x)?x3，?2(x)?sinx时，?1(x)?A，?2(x)?B．现有如
下命题：
①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)?A”的充要条件是“?b?R，?a?D，； f(a)?b”
②函数f(x)?B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；
③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)?A，g(x)?B，则f(x)?g(x)?B； ④若函数f(x)?aln(x?2)?x（x??2，a?R）有最大值，则f(x)?B． 2x?1其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号） 三、解答题
17．（2018上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平
均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中
x%(0?x?100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 0?x≤30,?30,?（单位：分钟）， f(x)??18002x??90,30?x?100?x?而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性，并说明其实际意义．
18．（2015江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，
l2，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得
l2的距离分别为5千米和40千米，l2的距离分别为20千米和2.5点M到l1，点N到l1，
l2所在的直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系xoy，假设曲线C符合千米，以l1，函数y?a（其中a,b为常数）模型． 2x?b
（I）求a,b的值；
（II）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f?t?，并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
19．（2013重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面
半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000?元（?为圆周率）．
（Ⅰ）将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
n20．（2012陕西）设函数f(x)?x?bx?c(n?N?,b,c?R)
（1）设n…2，b?1,1c??1，证明：f(x)在区间(,1)内存在唯一的零点；
2（2）设n为偶数，f(?1)?1，f(1)?1，求b?3c的最小值和最大值；
（3）设n?2，若对任意x1,x2?[?1,1]，有f(x1)?f(x2)?4，求b的取值范围． 21．（2011江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，
切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm
2020年高考数学(文)分类专题训练《第6讲 函数综合及其应用》(含近十年高考真题及解析)
