???/ DBH= 30°,
由（1 ）知，/ ABH= 2/DBH= 60°
【点评】本题考查了切线的性质?本题运用切线的性质来进行计算，通过作辅助线连接圆心和切 点，利用垂直构造平行线来解决有关问题.
22?【分析】直接利用锐角三角函数关系分别得出
【解答】解：由题意可得：AD= DC= x, 故 tan37
AD AB AC的长即可得出答案.
AD 貫
厂0.75，
解得：x = 150, 故 AD= CD= 150,
则 AC= 150 :?212.1 （cm , 则 BD= 200cm
「十 0.60 ,
解得：AB= 250.0 ,
答：竹竿 AB的长为250.0 cm AC的长为212.1 cm
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键.
故 sin37
AD 150
23 ?【分析】（I）根据题意可以将表格中的数据补充完整；
（n）根据题意可以直接写出 y1, y关于x的函数关系式；
（川）根据题意和 y1, y2关于x的函数关系式，可以解答本题. 【解答】解：（I）由题意可得，
当购买20本时，甲文具店需要付款：2 X 20= 40 （元），乙文具店需要付款：2.4 X 20= 48 （元）, 当购买40本时，甲文具店需要付款： 2X 40= 80 （元），乙文具店需要付款： 2.4 X 20+1.8 X（ 40 -20）= 84 （元），
故答案为：40, 80; 48, 84;
（n）由题意可得，
y1 = 2x;
fy1
2.（0 =iz4HO+l?8（EO）（i>20）； （川）令 2x = 2.4 X 20+1.8 （x - 20）, 解得，x = 60, ???当50W xv 60时，在甲文具店购买这种笔记本的花费少, 16 当x = 60时，两家文具店花费一样多， 当x > 60时，在乙文具店购买这种笔记本的花费少. 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答. 24. 【分析】(I )根据勾股定理得 AB= 5,由旋转性质可得/ BAB = 90°, A B= AB= 5?继而得 出 BB = 5 '■; (II )作O D丄x轴，由旋转的性质可得：/ O AO= 120°, O A= OA= 4,在Rt△ O AD中， 由/ O' AD= 60°得AD O D的长，继而得出答案； (III )如图中，当点 O'在AB上时，△ KB O的面积最小，当点 O在BA的延长线上时，△ KB O'的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题. 【解答】解：(I)如图①，???点 A (4, 0)，点B (0, 3), ??? OA= 4, OB= 3. 在Rt △ ABC中，由勾股定理得 AB= 5. 根据题意厶ABQ绕点A顺时针旋转，得△ AB O , 由旋转的性质可得：/ BAB = 90°, A' B= AB= 5, ? BB = 5 (II )如图②，过 O作OD丄x轴于D,则/ O DA= 90° 由旋转的性质可得：/ O心 120 ° , O' A= OA= 4, 在 Rt△ O AD中，由/ O' AD= 60°,/ AO D= 30 A= 2. 由勾股定理OD= ? OD= OAOD= 4+2= 6. ???点O'的坐标为（6, 2 ）; (III )如图所示，当点O 在AB上时，△ KBO 的面积最小，最小面积一； ..' 1 =5X 3X( 4- 2.5 )=\ 9 17 当点 0'在 BA的延长线上时，△ KB' 0'的面积最大，最大面积 S= , x KO'x BO 0\\ A D 圉② 【点评】本题是三角形的综合题，主要考查旋转的性质及勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题. 25. 【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式； (2) 首先求出厶PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值； (3) A 0M为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论. 1 2 【解答】解：(1)把点C( 0,- 4), B (2, 0)分别代入y= .. x+bx+c中, 18 ly I c=-4 得I X 2^+2b+c-0 b=l c--4 解得* +2 y = —x ???该抛物线的解析式为x - 1 4. 1 2 (2)令 y = 0,即=x +x - 4= 0,解得 xi =- 4, X2 = 2, ?- A (- 4, 0) ,S^ ABC— ,AB?O(= 12. 设P点坐标为(x, 0)，贝U PB= 2 - x. ?/ PE// AC, ???/ BPE=Z BAC / BEP=Z BCA 化简得：SAPBE= . ( 2 -x) 2. $ 1 1 1 △ PCE— S\\ PCB— S^PBE—.,PB?OC- PB = X( 2 - x)x 4- p ( 2- x) 1 x2 =-.(x+1) 2+3 ???当x =- 1时，SA PCE的最大值为3. (3)A OM为等腰三角形，可能有三种情形: (I)当DM= DO时,如答图①所示. DO- DM= DA= 2 , ???/ OA(=Z AM= 45° , ???/ ADI= 90° , ? M点的坐标为(-2, - 2); (II )当MD= MC时,如答图②所示. 过点M作MNL OD于点N,则点N为OD的中点, 19 ???DN= ON= 1, AN= AADN= 3, 又厶AMN等腰直角三角形，? MN= AN= 3, ? M点的坐标为（-1，- 3）; （III ）当 0D= OIM寸， ???△ OAC为等腰直角三角形， ???点O到AC的距离为-^x 4= ',即AC上的点与点 O之间的最小距离为 ?/ ： ＞2,二OD= OM勺情况不存在. 综上所述，点M的坐标为（-2,- 2）或（-1，- 3）. 1 oJ A ? N X 1 答图② AT 寵① 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等 腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想.第（ 2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意其中求面积表达式的方法；第（ 3）问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能 的情形需要一一分析，不能遗漏. 20
天津市红桥区2019年中考数学一模试卷(含解析)
