y(x1)y
（2）
2
x1,
2
y(x1)x
C).
2
(x1)dx
12
x
2
xC,所以
(x1)(
12
x
2
方程两边同乘以
1x
得：(y
y1
)xx
2sinx,即()
xC)
y
sin2x,两边积分得
yx
cos2xC,yx(cos2x
3.求解下列微分方程的初值问题：
(1)
yxy
e
2xy
,
y(0)0
0
edx,两边积分得：e12e
2x2x
y
(2)
y
由y
e
x
0,y(1)
y
解：（1）
e
2xy
得：edy12,e
y
1212).
e
2x
C,
由
y(0)
0得：C
12
,即yln(
12
e
x
（2）
由xy
由
ye
x
0得：(xy)e,两边积分得：xy
1x(e
x
x
e
x
C,y
1x
(e
x
C).
y(1)
0得：Ce,故：y
e)
4.求解下列线性方程组的一般解：
x1
（1）
2x3
x1
x2x2
3x3
x4
02x4
00
2x15x33x4
2x1
x2x3x41（2）
x12x2x3
4x4
2x1
7x24x311x451
02110211021解：（1）
A1132011101112
1
5
3
0
1
1
1
0
0
0
0
一般解是
x12x3x4
x(x3,x4是自由元)
2
x3
x4
（
2
）
21111121421214A
121
4
2
211
1
1
05371
7
41151741150
5
3
7
10164121425
5541x630137301373x1
555x4555555,
3370
0
0
0
0
0
0
0
0
0
x2
5
5
x3
5
x4
5.当为何值时，线性方程组
x1x25x34x422x1x23x3x413x12x22x33x43
7x1
5x2
9x3
10x4
有解，并求一般解。
233
1
解：
112551300800
532
43
23
1000
1112
5131326
49918
23314
A
237
11
91049005900
1300,
x1x2
2308,
1000
110010
8时方程组有解，这时
A
01130000
18x3313x3
5x49x4
5．
a,b为何值时，方程组x1x1x1
x2x23x2
x32x3ax3
12b
有唯一解、无穷多解或无解。解：
1A
11
当
113
12a
12b
a
100
1243,b
11
11
100a
120
a
113
11b3
a1b13时方程组有无穷多解，当
a3时方程组有唯一解，当
3,b3时方程组无
解四、证明题
1．试证：若
B1,B2都与A可交换，则B1B2，B1B2也与A可交换。
证明：因为
B1,B2都与A可交换，所以AB1B2)
AB1(AB1)B2
AB2
B1A,AB2B2A,故B2)A,B1(B2A)
(B1B2)A.
A(B1B1AB2A(B1
B1(AB2)
A(B1B2)
则
(B1A)B2
B1B2，B1B2也与A可交换。
A，A
2．试证：对于任意方阵
A
T
，
AA,AA是对称矩阵。
A
T
T
TT
证明：
(AA)
T
T
TT
A
T
(A)
T
TT
A
T
T
AA,A(A)
TT
T
(AA)(A)A
A
，
TTT
AA,(AA)
，
AA,
T
对于任意方阵
AA
T
AA,AA是对称矩阵。
对称的充分必要条件是：
TT
3．设
A,B
均为
n阶对称矩阵，则AB
对称，那么
ABBA
。
证明：设
AB
(AB)
BA.
那么
T
,所ABAB
BA
B
T
1
以
AB(AB)BA
B
TT
T
T
TT
BA
T
B,则A
AB
4．设
BA.
A
为
反过来设
AB
B
T
为
(AB).所以AB
BAB是对称矩阵。
1
1
是对称矩阵。
n
1
阶对称矩阵，
n
阶可逆矩阵，且，证明
证明：
(BAB)
T
(BAB)
T
BA(B)
TTT
BAB,即BAB是对称矩阵。
1
6．求解下列经济应用问题：
（1）设生产某种产品
q
个单位时的成本函数为：
C(q)1000.25q
2
6q（万元）
,
求：①当
q10时的总成本、平均成本和边际成本；
q为多少时，平均成本最小？
②当产量
解：①
C(10)1000.2510
2
610185,C(10)18.5,C(10)11
②
C(q)
100q
.
0.25q6,C(q)
100q
2
0.25
0,得q=20.所以当q=20
时平均成本最小
（2）.某厂生产某种产品
q件时的总成本函数为
C(q)204q0.01q
2
（元），单位销售价格为
p
解：
140.01q
（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少．
R(q)
10
pq14q0.01q,L(q)
0.04q
0,
q
2
R(q)C(q)10q0.02q1230(元)
2
20
L(q)
250，最大利润为L(250)
C(x)
2x
（3）投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为
40(万元/百台)．试求产量由
4百台
增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低．解
：
CC(6)C(4)
64
C(x)dx
100万元
64
(2x40)(x
2
40x)4
6
100(万元)
产量由4百台增至6百台时总成本的增量为
C(x)
C(x)
C(x)dxC0
0
x
40
36x,C(x)
xx0
(2x
136x
2
40)dx36
0,
x
x
2
40x36,
6（百台）时，可使
6(百台)，产量为
平均成本达到最低．
（4）已知某产品的边际成本
C(q)=2（元/件），固定成本为
0，边际收入
R(q)120.02q，求：
①产量为多少时利润最大？
经济数学基础形成性考核册作业答案电大专科形考答案
