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高中数学第一章计数原理3第二课时组合的应用教学案北师
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有限制条件的组合问题 [例1] 2011年7月23日，甬温线发生特大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
[思路点拨] 选取医疗专家不需要考虑顺序，因此是组合问题，解答本题应首先分清“恰有”“至少”“至多”的含义，正确的分类或分步．
[精解详析] (1)分两步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有CC＝90种抽调方法．
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法， 法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类： ①选2名外科专家，共有CC种选法； ②选3名外科专家，共有CC种选法； ③选4名外科专家，共有CC种选法． 根据分类加法计数原理，共有
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CC＋CC＋CC＝185种抽调方法．
法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法，若选取1名外科专家参加，有CC种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有
C－CC－C＝185种抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．
①没有外科专家参加，有C种选法； ②有1名外科专家参加，有CC种选法； ③有2名外科专家参加，有CC种选法． 所以共有C＋CC＋CC＝115种抽调方法．
[一点通] (1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，采用分类或分步法或用间接法．
(2)要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步．
(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．
1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手都必须在内，那么不同的选手共有( )
A．26 B．84 C．35
D．21
解析：从7名队员中选出3人有C＝＝35种选法． 答案：C
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2．从5名男医生，4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )
A．70种 C．100种
B．80种 D．140种
解析：可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名．∴共有CC＋CC＝70种．
答案：A
3．某医科大学的学生中，有男生12名女生8名在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队．
(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？
解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有选法C＝816种． (2)只需从其他18人中选5 人即可，共有选法C＝8 568种． (3)分两类：甲、乙中只有一人参加，则有C·C种选法；甲、乙两人都参加，则有C种选法．
故共有选法CC＋C＝6 936种.
几何中的组合问题 [例2] 平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线．
(1)经过这9个点，可确定多少条直线？
(2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？ [思路点拨] 解答本题可用直接法或间接法进行．
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