资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
【高等数学基础】形成性考核册答案
【高等数学基础】形考作业 1答案:
第1章函数 第2章极限与连续
(一) 单项选择题
1?下列各函数对中，(C )中的两个函数相等.
A.
f (x)
(、X)2, g(x) x B.
f(x)
x2 , g(x) x
C. 分析
f (x) In x3, g(x) 3In x D. f(x) x 1, g(x)
x2 1
x 1
:判断函数相等的两个条件
(1)
0;
对应法则相同(2)
g(x) x,定义域为
定义域相同 R
A、 f (x) (、、X)2 x,定义域 x|x
定义域不同，因此函数不相等； B、 f(x)
x, g(x) x对应法则不同，因此函数不相等
C、 f (x) In x3 3ln x,定义域为 x| x 0
因此两个函数相等
f (x) x 1
g(x) 3I nx,定义域为 x| x 0
定义域为R; g(x)
x2 1 x 1
x 1, 定义域为 x|x R,x 1
定义域不同，因此两函数不等。 故选C
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
2.设函数f(x)的定义域为(，)，贝恼数f(x) f( x)的图形关于(C)
对称.
A. 坐标原点 C. y 轴
D.
B. x轴
y x
分析：奇函数，f( x) f (x),关于原点对称
偶函数，f( x) f(x),关于y轴对称
y f x与它的反函数y f 1 x关于y x对称，
奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称
设g x f 因此g x
x f
x ,则 g x
f x f x g x
f x f
:x为偶函数
,即图形关于y轴对称
故选C
3.下列函数中为奇函数是
(B). B.
y xcosx
A. C.
y ln(1 x2)
a a y
x x
D.
y ln(1 x)
2
分析 :A、
y x ln(1
x 2) In 1 x2
y x ,为偶函数
B、 y x
xcos x xcosx
y x ,为奇函数
或者x为奇函数，COSX为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数
2
C、
y x ,因此为偶函数
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
D、 y x ln（1 x）,非奇非偶函数 故选B
4?下列函数中为基本初等函数是
（C）.
y x
1, x 0 1 , x 0
A. y x 1 C. y x
2
B. D.
分析：六种基本初等函数
(1)
y c(常值) --------------- 常值函数
y x ,为常数 ------- 幕函数
(2)
(3)
y ax a 0,a 1 ------------------- 指数函数
(4)
y loga x a 0,a 1 -------------------- 对数函数
y sin x, y cosx, y tan x, y cot x ------------------ 三角函数
(5)
y arcs in x, 1,1 ,
(6)
y arc cosx, 1,1 , y arc tanx, y arc cot x
反三角函数
分段函数不是基本初等函数，故D选项不对 对照比较选C
5.下列极限存计算不正确的是
2
（D）
lim ln(1 x) 0
x 0
A. lim —1
x
x 2
B.
2
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
C. lim 沁 0
xsin 0
0
x
D.
lim
.1 x
x
分析：已知 lim
A、
x
x
2
lim ~2
x
x lim - X2 2 x
1 r x x
x
B、 liml n(1 x) ln(1 0) 0
初等函数在期定义域内是连续的
沁 limlsinx 0
x x x
x 时，-是无穷小量，sin X是有界函数,
x
无穷小量X有界函数仍是无穷小量
.1
1 sin—q
D lim xsin— lim x
,令 t 一 0,x
,则原式
x x x 一
x
x
故选D
&当x 0时，变量(C)是无穷小量. A.
sin x B.
1 x
x
C. n —
1 xsi D.
ln(x 2)
x
分析；
lim f x
x a
0,则称f x为x a时的无穷小量
omsln t
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
A、 xm哑1,重要极限
X
0
x
B、 lim -,无穷大量
x 0
x
C、 lim xsin
x 0
0,无穷小量x X有界函数sin〕仍为无穷小量 x
D limln(x 2)=ln 0+2 In 2
x 0
故选C
7.若函数f (x)在点X。满足(A),
则f(x)在点X。连续。
A. lim f (x) f (x0)
x x
B.
f (x0)
f (x)在点X0的某个邻域内有定义
C. lim f (x)
x x
D.
lim f (x) lim f (x)
x XQ
x XQ
分析：连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即
lim f x f XQ
X x
连续的充分必要条件lim f x f x0
XX
lim f x lim f x f x。
XX)
X XQ
故选A (二) 填空题
函数f (x) _____________________________________________ —
x 3
1.
9 ln(1
x)的定义
域是 — x|x 3
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
分析：求定义域一般遵循的原则
(1)偶次根号下的量 0
⑵分母的值不等于0
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
(3) 对数符号下量(真值)为正 (4) 反三角中反正弦、 反余弦符号内的量
，绝对值小于
等于1
(5)
正切符号内的量不能取k -k
然后求满足上述条件的集合的交集
f(x)x 3
— ln(1 x)要求x2
9
0 x 3或x 3
x 3 0得 x 3 求交集
1 x 0
x -1
定义域为
x |x 3
2.已知函数f(x
1) x2
x
f (x)
X -X 2
分析：法
f(t) t 1 t
2
t2
法二, f(x 1) x(x 1)
1
3. lim (1 x)x
2x x
分析：重要极限lim 1
1
e, 等价式lim 1
x 0
x
x
推广 lim f x 则 lim(1
x a
x a
x 1 则 f x)77
lim f x 0 lim(1
x a
x a
0,1,刖
即为定义域
f(t) t 1 t
因此
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
lim(1 x 2x x 2x
1 1 2x 1 )x lim(1 ) 2 e2
i
1
4?若函数f(x) (1 x)\\ x 0，在x 0处连续，则k __e _____________________
x k , x 0
分析：分段函数在分段点x0处连续
x xo
x 0
x x)
lim f x lim f x f x0
lim f x lim lim f x lim
x 0
x 0
X k 0 k k
1
因此k e
x 0
1 x
e
5.函数y
X 1, X 0sin x, X 0
的间断点是
x 0
分析：间断点即定义域不存在的点或不连续的点
初等函数在其定义域范围内都是连续的 分段函数主要考虑分段点的连续性(利用连续的充分必要条件)
lim f x
x 0
lim x 1 0 1 1
x 0
lim f x
x 0
不等，因此x 0为其间断点
lim sinx 0
6.若 lim f (x) A,则当 x
X X
X0时, f (x) A 称为 _ x X0时的无穷小量 。
分析：lim( f (x) A) lim f(x) lim A A A 0
X 冷 x xx 冷
0
因此f (x) A为X
(三) 计算题
1.设函数
X0时的无穷小量
f(x)
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
求f ( 2), f (0), f(1).
解：f 2
2, f 0
0,
1 e1 e
2.求函数y
lg 的定义域.
x
2x 1
解:y ?红^有意义,
x
x
要求
解得
丄或x 0
2 0
则定义域为x|x。或x 2
3.在半径为R的半圆内内接一梯形
,梯形的一个底边与半圆的直径重合
底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数. 解:
C
设梯形ABC［即为题中要求的梯形，设高为h,即0E二h,下底CE> 2R直角三角形AOE中 ,利用勾股定理得
AE . OA2 OE2 、R2 h2
另一
，
则上底=2AE 2 R2 h2 故 S -I 2R 2JR2 h2
2
h R ?、R2 h2
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
sin3x 4.求 lim
x 0
sin2x
sin3x c
sin3x lim
lim x
sin3x
3x
0
sin2x
lim 0 sin2x
— 卑-
x 0 sin 2x 2x
2x x 0
sin2x 2x
5.求 lim
x2
x 1
si n(x 1)
2
lim x 1
— 1
1)(x 1) si n(x ~ij
lim也x 1
sin (x 1)
lim
x 1 sin (x 1)
&求 x 0
x
tan3x lim
limtan更
sin3x 1 lim沁 1 x 0 x lim
x 0
cos3x
x 0
3x cos3x
7.求
lim丄三 x 0
sin x
lim
41 1 x2 1 x2 1)
x 0
sinx
(、1 x2
1)sin
lim
x 0
(.rv
八 sin
x
1)—
x
lim
0
0
1)sin x
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
11
x 1)x
lim(
T~3 x
lim(
x
x
(i -) x)x
lim X x
(1
x
x1L)] 1 [(x ___ e 4 —e
1 lim
w e — x
x [(1
9.求 lim
x 4 x
x 6x 8 5x 4
6x 8
lim 2
x 4 x 5x 4
lim x 4 x 4
x 4 x 1
x 2
lim x 4
x 1
10.设函数
(x 2)2 , x 1 f (x) x ,
1 x 1
x 1 , x 1 讨论f(x)的
连续性，并写出其连续区间.
解：分别对分段点x 1,x 1处讨论连续性 (1)
lim f x
x 1
lim
x 1
lim f x
x 1
lim
1
因此 lim1
lim
: 1
1处不连续
(2)
lim f
x 1
lim x
x 1
lim f
x 1
lim x
x 1
1 1
因此 lim f x
x 1
x
1 lim f
x 1
1处连续
由(1) ( 2)
得f x在除点x 1外均连续
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
故f x的连续区间为 ，1
1,
【高等数学基础】形考作业 2答案: 第3章导数与微分
（一）单项选择题
1?设 f(0) o
且;
极限
lim f(x)
存在 ,则 x 0 x
A. f(0)
B.
C. f (x)
D. 2.设f （x）在x0可
则lim f (x2h) 导,
°
h 0
2h
A.
2 f (x0 >)
B.
C. 2f (xo)
D.
x
3.设 f (x) e 则 lim f(1
x) f (1)
,
x 0
x
(
A. e
B.
C 1 C. e
D.
2
4.设 f (x) x(x
1)(x 2) (x
99),
则f
A. 99
B.
C. 99! D.
5.下列结论中正确的是（C ）
lim f(x) ( C
x 0
x f (0)
0cvx
f(
Xo)( D )
f（X。）
f（X。）A ) ?
2e
1 e
4
⑼（D ）99
99!
.
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
A.若f(x)在点X。有极限，则在点X。可导. B.若f(x)在点xo连续,则在点xo可导. C. 若f(x)在点X。可导，则在点X。有极限. D. 若f(x)在点xo有极限，则在点xo连续.
(二) 填空题
1.设函数f(x)
x sin , x 0 x 2 .
1
0, x 0
2设 f(ex) e2x
3.曲线 f(x) ■ x 1在(1,2)处的切线斜率是
4?曲线
f (x) sin x在(n, 1)处的切线方程是 .2 、、
4
Tx 才 4)
5.设y x2x,则 y 2x2x(1
lnx)
&设y
xln x,则 y
(三) 计算题
1.
求下列函数的导数
3
(1) y (x、_x 3)ex
(x2 3)e
X
x3
2e 2
⑵ y cot x x21n x
CSC 2
X
x 2x l nx
2
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
x
2
In x
x
In x x2 sin x
(6) y x 4
sin xln x
sin x x . 2
3x
⑻ y ex ta nx Inx
2. 求下列函数的导数e1
e
1 x2
x
⑵ y In cosx3
2x l nx x ln2x
x( sin x
2x In2) 3(cosx
2x)
sinx( 2x) (Inx x2x
)cosx
sin x
2
y 4x
,3 sin x x
cosxln x
, x 2 x
3 (cosx 2x) (si nx x )3 In 3
3^
x
ex tan x
cos x
2~ e y :
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
sin x
. 3
3x2 c 2 ,
3- cosx 3x tan x
3
7 1
8T 8
x Vx Jx
1
x2) 3
(1
霁）
cos e
2
y
exsin(2ex)
2
⑹ y cosex
y 2xe sine
2 2 x x
⑺ y sinn xcosnx
nsin xcosxcosnx nsin xsin( nx)
? n 1 . n . 2
⑻ y 5
sinx
2xln5cosx 5
2 sin x 2
.2
⑼ y e
sin x
/
、
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
y sin 2xe
.2 sin x
y x (x 2xlnx) 2xe
X
X
2 2
(ii) y
x
x
x
e
y x (
e / 匸
x
e In x) e e
x [ 、 e x
3.在下列方程中
y y(x)是由方程确定的函数，求y :
⑴ ycosx e2y
y cosx y sin x 2e y
y sin x
y
cosx 2e
石
2y
⑵y cosy In x
sin y.y In x
cosy x(1 sin y In x)
1 cos y.— x
⑶ 2xsin y
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
2xcosy.y
2siny
2yx xy 2
2
2xy 2y sin y 2xy2 cos y x2
x 、 yx 2siny y
y(2xcosy 文)
y
⑷ y x In y
y_ y
⑸ In x ey y2
eyy 2yy x
1 x(2y ey)
⑹ y2 1 ex sin y
2yy e cosy.y sin y.e
x ? x
e sin y 2y ex cosy
x
⑺ ey ex y3
e y e 3y y e y — 3y e
x 2
y
x
2
⑻ y 5x 2y
5x|n5 y 2y In2 5x In 5 1 2y In2
4?求下列函数的微分dy：
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删(1) y cot x
cscx
除。
1
cosx dy (2
)dx
sin x
2
cos x
⑵
In x y
sin x
1 . sin x In xcosx dy
x 2 -------- dx
sin x
.1 arcs
in
1
d
y 六”
dx
⑷y 3 J
\\1 x
两边对数得：In y 1 ln(1 x) ln(1 x)
3
y1 1 1
_ 3 1 x 1 x
( ) y
13
1
X(丄 3 1 x 1 x
sin2 ex
dy 2sinexex ex
dx sin(2e3
x)exdx
tanex
3
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
dy sec e 3x dx
2 X3 2
3x2ex3 sec2 xdx
5.求下列函数的二阶导数
(1) y xln x
y 1 y -
1 x
In x
(2) y xsin x y xcosx si nx y xsi nx 2cosx
⑶ y arctanx
1 1 x2
2x 2 2
(1 x )
⑷y 3x
y 2x3x In 3
2
y 4x3\ 3 2In3 3\
2
2
x
x
(四) 证明题
设f(x)是可导的奇函数，试证f(x)是偶函数. 证：因为f(x)是奇函数因此f ( x) f (x) 两边导数得：f ( X)( 1) f (x) f ( x) f(x)
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
因此f (x)是偶函
数。
【高等数学基础】形考作业 3答案:
第4章导数的应用
(一) 单项选择题
1.若函数f(x)满足条件(D),贝卩存在
(a,b),使得f()f(b) f(a).
b a
A. 在(a,b)内连续 C. 在(a,b)内连续且可导
2.函数 f(x)
B. 在(a,b)内可导
D. 在［a,b］内连续，在(a,b)内可导
x2 4x 1的单调增加区间是(D ).
A. C.
( ,2)
B.
)
( 1,1)
(2,
D.
2
( 2,)
3.函数 y x
4x 5在区间(6,6)内满足(A ).
A. 先单调下降再单调上升 C. 先单调上升再单调下降 4. 函数f (x)满足f (x) 0的点，
B. D.
单调下降 单调上升
一定是 f(x)的(C ).
极值点
A. 间断点 C. 驻点
B. D.
拐点
5.设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数
，x
o
(a,b),若f(x)满足(C ), 则
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
f(x)在X。取到极小值.
A. f(X0) 0, f(X0) 0 C. f (x°) 0, f (x°) 0
B. D.
f (Xo)
0, f (Xo)
f (Xo)
0, f (Xo)
&设f(X)在(a,b)内有连续的二阶导数
且 f (X) 0, f (X) 0,则f (X)在此区间
内是(A )
A.单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C.单调增加且是凸的
D.
单调增加且是凹的
(二) 填空题
1.设f (x)在(a, b)内可导，
x°
(a,b),
且当 x X0 时 f (x) 0 ,
当 X X0 时则X。是f(x)的极小值
点
八
2.若函数f (X)在点X0可导,且X0是f (X)的极值点,则f (X0)
3. 函数y ln(1 x2)的单调减少区间是(,0).
4. 函数f(x) e\的单调增加区间是(0,)
5. 若函数f (x)在［a,b］内恒有f (x) 0,则f (x)在［a, b］上的最大值是f (a).
&函数f(x) 2 5x 3x3的拐点是 X=0 ________________
(三) 计算题
1求函数y (x 1) (x 5)2的单调区间和极值.
f (X) 0,
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
令 y (x 1)2(x 5)2
驻点x 2,x
2(x 5)(x 2)
列表:
X (,2) + 上升 y y 2 极大 27 (2,5) - 下降 5 极小 0 (5,) + 上升 极大值: 极小值:
f(2)
27
f(5)
x2 2x 3在区间［0,3］内的极值点，并求最大值和最小值.
x 1(驻点)
2.求函数y
令：y 2x 2 0
f (0) 3 f (3)
最大值 最小值
6
f (3) 6 f (1) 2
f(1) 2
3.试确定函数 y ax3 bx2 cx d 中的 a, b, c, d ,
使函数图形过点(2,44)和点
(1, 10),且x 2是驻点，x 1是拐点.
44 8b 4b 2x d
10 a b c d 0 12a 4b c 0 6a 2b
b 3 c 16 d 24
4?求曲线y2 2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短.
解：设p(x, y)是y2 2x上的点，d为p到A点的距离，则：
d .(x 2)2
y2 (x 2)2 2x
2(x 2) 2
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
x 1
令d 2, (x 2)2 2x (x 2)2 2x 2x上点(1,2)到点A(2,0)的距离最短
y
2
7.欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法
L,问当底半径与高分别为多少
5.圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为
时，圆柱体的体积最大？ 设园柱体半径为R,高为h,则体积
V R h (L h )h
2 2 2
2 2 2 2
令：V [h( 2h) L h ] [L 3h ] 0
R 2L 当h 3, R 2L时其体积最大 &一体积为上
V的圆柱体3^3
，问底半径与高各为多少时表面积最小设园柱体半径为R,高为h,则体积
2
2
V 2 V R h S表面积 2 Rh 2 R 2
R 2 R
令：S 2VR 2
4 R 0
R3
R
用料最省？
解：设底连长为x,高为h。则:
62.5 x2h
h %5
x
侧面积为：S x2 4xh x2
x
TL
令 S 2X 250 0
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。X3 125 x 5 x
答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省 (四) 证明题
1.当x 0时，证明不等式x ln(1 x).
证：由中值定理得：
ln(1 X)
ln(1 x) Ini 1 1
(
x
(1 x) 1
1
!^匕一1
x ln(1 x)
(当 x 0时)
x
2.当x 0时，证明不等式ex x 1 . 设f (x) ex (x 1) f (x) ex 1 0
(当x 0时)
当x 0时f (x)单调上升且f (0)
f (x)
0,即ex (x 1)证毕
【高等数学基础】形考作业 4答案：第5章不定积分 第6章定积分及其应用
(一)单项选择题
1.若 f(x)的一个原函数是 丄，则f (x) ( D
x
A. In x B.
C.
-D.
x
2.下列等式成立的是(D )
A f (x)dx f(x) B.
df (x) f (x) C. d f (x)dx f (x) D. — f(x)dx dx
0)
0
f(x)
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
3.若 f (x) cosx ,
则 f (x)dx
cosx
A. sinx c B. C.
sin x c
D.
cosx c
4. d_ x2f(x3)dx
(B)
1 3 3f(x)
A. f(x) B.
3
x2f(x3)
C. f(x) D.
5.
若 f (x)dx F(x) c,则
f ( . x )dx ( B
A. F(.x) c B. 2F ( .一 x) c C.
F(2?.x)
&由区间［a,b］上的两条光滑曲线 y f (x)和 y
g(x)以及两条直线x a和x b
所围成的平面区域的面积是 A. [ f (x) g(x)]dx a
C.
b
B.
b
a[g(x) f (x)]dx
f(x) g(x)dx
D.
b
[f(x) g(x)]dx a
(二)填空题
1.函数f(x)的不定积分是
f (x)dx.
，则F(x)与G(x)之间有关系式
2.若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数
F(x) G(x) c(常数).
3. d e dx ex
x
2 2
4 (ta nx)dx tanx c
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
5.若 f(x)ck cos3x c,贝卩 f (x)
9cos(3x)
6.
3(sin5 x 】)dx 2
7.若无穷积分
丄dx收敛,
xp
三)计算题 (
cos-
1
1.
2
x
dx
cos—1
sin .1 x
d(—x
x x
)
2.
[dx
x
d x 2e
1 3.
x -dx xln klnx)
In (In x)
4.
xsin 2xdx 」xcos2x
2
cos2xdx
1
2
xcos2x
e
e
1 3 ln x dx
J3 In x)d(3 In x)
e
5.
ln x)1
1
6.
xe 2x
2x
x
2x
dx
2x
0 dx e
x I
2
e 7.
xln xdx 1 2
ln 1
xdx
]|nx x
8.
fdx
1
四)证明题 (
1.证明：若f(x)在［a,a］上可积并为奇函数
a
f(x)dx 0 .
资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
a
a
a
a
证
令 x t
a
f(x)dx
a
f ( t)dt
a
f ( t)dt
a
f (t)dt
：
f (x)dx
a
f(x)dx
a
f(x)dx 0
证毕
2.证明：若f(x)在［a,a］上可积并为偶函数，贝
S :f(x)dx 2 ：f(x)dx .
证:
a a
f (x)dx
f (x)dx f (x)dx
0
令x
t,则
a f (x)dx 0
a
a f( t)dt
0 f(t)dt
a 0
f (x)dx a a
a
f(x)dx
a
00 f(x)dx f(x)dx
3.证明： a
a
a f(x)dx
0[ f(x) f(
x)]dx
a
a
a
证： a
f(x)dx f (x)dx 0 f (x)dx
a f(
= a a
0 f( x)dx 0 f(x)dx 0[f(x) f( x)]dx 证毕
f ( x )是偶函数
aa
0 f(x)dx 2 0 f(x)dx
x)dx (x)dx
证毕
高等数学基础形成性考核册答案附题目
