电磁场与电磁波
实 验 报 告
实验名称： 有限差分法解电场边值问题 实验日期： 2012年12月8日 姓 名： 文强 学 号： 100240333
工业大学（威海）
问题述
如下图无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为U0，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此导体槽的电位分布。
参数说明：a=b=10m, U0=100v
实验要求
1) 使用分离变量法求解解析解；
2) 使用简单迭代发求解，设?=10-10，?x??y?0.1,1两种情况分别求解数值解；
3) 使用超松弛迭代法求解，设?=10-10，?x??y?0.1确定?（松弛因子）。
求解过程
一、 分离变量法求解
因为矩形导体槽在z方向为无限长，所以槽电位函数满足直角坐标系中的二维拉普拉斯方程。
?2??2??2?02?x?y?(0,y)?0,?(a,y)?0 (0?y?b)根据边界条件可以确定解的形式：
?sin(?(x,y)??Ann?1??(x,0)?0,?(x,b)?U0(0?x?a)nπxnπy)sinh() aa利用边界条件?(x,b)?U0求解系数。
?A?sin(nn?1?nπxnπb)sinh()?U0 aa?U0??fnsin(n?1nπx) a?4U0n?1,3,5,2nπx?fn??U0sin()dx??nπa0a?n?2,4,6,?0a?
?nπxnπbnπx?Asin()sinh()?U?fsin() ??n0naaan?1n?14U0?n?1,3,5,fn?A'n???nπsinh(nπb/a)nπbsinh()?n?2,4,6,?0a
?(x,y)?n?1,3,5,??4U0nπxnπysin()sinh()简单迭代法求解
nπsinh(nπb/a)aa二、 有限差分法
有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一种数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数?的泊松方程的问题转换为求解网格节点上?的差分方程组的问题。 泊松方程的五点差分格式
?1??2??3??4?4?0?Fh2 ? ?0?(?1??2??3??4?Fh2)
14当场域中??0,得到拉普拉斯方程的五点差分格式
?1??2??3??4?4?0?0 ? ?0?(?1??2??3??4)
14差分方程组的求解方法(1) 高斯——赛德尔迭代法
k?1)(k?1)(k)(k)2?i(,kj?1)?[?i(?1,j??i,j?1??i?1,j??i,j?1?Fh] (1-14)
14式中：i,j?1,2,??????，k?0,1,2,??????
图1-4 高斯——赛德尔迭代法
迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。 迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分 格式，直到所有节点电位满足?i(,kj?l)??i(,kj)??为止。 （2）超松弛迭代法
?k?1)(k?1)(k)(k)2(k)?i(,kj?1)??i(,kj)?[?i(????????Fh?4?1,ji,j?1i?1,ji,j?1i,j] (1-15)
4 式中：?——加速收敛因子(1???2) 可见：迭代收敛的速度与?有明显关系 (一) 简单迭代法 简单迭代法程序： 1) 步长=1
clear all;clc;close all; %设置节点数,步长1 hx=11; hy=11;
v1=ones(hy,hx); %% %%
%设置边界条件
v1(hy,:)=ones(1,hx)*100; v1(1,:)=zeros(1,hx); v1(1:hy,1)=0; v1(1:hy,hx)=0; %% %%
%初始化 v2=v1; maxt=1; t=0; k=0; %% %%
while(maxt>1e-10)
k=k+1; %计算迭代次数 maxt=0;
for i=2:hy-1 for j=2:hx-1
v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1))/4;%拉普拉斯方程差分形式 t=abs(v2(i,j)-v1(i,j)); if(t>maxt) maxt=t;end end end v1=v2; end %% %%
%可视化显示
subplot(1,2,1),mesh(v2); %画电势的三维曲面图 axis([0 ,11,0,11,0,100]); title('步长=1，各点电位');
subplot(1,2,2),contour(v2); %画等势线 title('等位线');
实验结果：
步长=1，各点电位111010080604020010105005124681098765432等位线
图1，简单迭代法结果，步长1
步长1，迭代次数 k = 246
各节点电位数据：
电磁场与电磁波实验资料报告材料
