1.5 定积分的概1．5.1 曲边梯形的面积1．5.2 汽车行驶的路程
1．5.3 定积分的概念
双基达标
1．函数f(x)＝x在区间?
2
限时20分钟
?i－1，i?上，
n??n?
( )．
A．f(x)的值变化很小 B．f(x)的值变化很大 C．f(x)的值不变化
D．当n很大时，f(x)的值变化很小 解析 当n很大时，区间?答案 D
2．当n很大时，函数f(x)＝x在区间?
2
?i－1，i?的长度1越来越小，f(x)的值变化很小，故选D.
n?n?n?
?i－1，i?上的值可以用下列哪个值近似代替
n??n?
( )．
?1??2??i?A．f?? B．f?? C．f?? D．f(0)
?n?
?n?
?n?
解析 当n很大时，f(x)＝x在区间?
2
?i－1，i?上的值可用该区间上任何一点的函数值近似n??n?
代替，也可以用左端点或右端点的函数值近似代替，故选C. 答案 C
3．已知定积分∫60f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则∫6－6f(x)dx＝
( )．
A．0 B．16 C．12 D．8 解析 偶函数图象关于y轴对称，
故答案 B
，故选B.
4．如图所示阴影部分的面积用定积分表示为________．
- 1 -
答案
n5．若
，则 lim ?f(ξi)
n→∞
i＝1
b－a＝________. n解析 由定积分的定义答案 6
6．利用定积分定义计算∫10xdx.
12n－1n解 (1)分割：0<<<…<<＝1.
3
可得．
nnnn?1?31?2?31?n?31?i?31(2)求和：??·＋??·＋…＋??·＝? ??·.
?n?n?n?n?n?ni＝1?n?nn(因为x连续，所以ξi可随意取而不影响极限，故我们此处将ξi取为[xi，xi＋1]的右端点也无妨)
3
i?311n31?nn＋1?21?(3)取极限： lim?i??·＝ lim 4?i＝ lim 4·??＝4.
n2nni＝1n??i＝1??
n3
n→∞n→∞3
n→∞
此处用到了求和公式1＋2＋…＋n＝(1＋2＋…＋n)＝
332
?nn＋1?2，因此∫10x3dx＝1.
??24??
综合提高
7．下列等式成立的是
( )．
限时25分钟
- 2 -
解析 由定积分的几何意义，选C. 答案 C
8．下列式子中不成立的是
( )．
解析 分析被积函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x在各区间的图象，由定积分的几何意义，易得只有C选项不成立，故选C. 答案 C
9．设f(x)是[a，b]上的连续函数，则的值为________．
解析 因为定积分与符号无关，所以答案 0
10．利用定积分的几何意义计算?3(x＋2)dx的值是________．
.
?1
解析 由定积分的几何意义知
?(x＋2)dx就是如图所示阴影部分的面积． ?1
3
- 3 -
答案 8
11．已知汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝－t＋2t(单位：km/h)，求它在1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少？
2
i－1i??1＋，1＋解 将时间区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为?，在第i个
nn???
?i???i?2?i??1
时间段的路程近似为Δsi＝v?1＋?Δt＝?－?1＋?＋2?1＋??·，i＝1,2，…，n.
nnn?
?
??
?
?
??n??i?2?i??1
所以sn＝?Δsi＝? ?－?1＋?＋2?1＋??·
nni＝1
i＝1
??n??n??n122222
＝－3[(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＋…＋(2n)]＋2[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]
nn1?2n＝－3?
2n＋1
6
2
4n＋1
n?
－
nn＋1
6
2n＋1?
?＋ ?
2
n2
·
nn＋1＋2n1?1??1?＝－?2＋??4＋?＋
3?n??n?
1?1??1?11＋??2＋?＋3＋， ?n??n?6?ns＝Sn＝
1?1??1?11?1?12
－?2＋??4＋?＋1＋?2＋?＋3＋＝，
3?n??n?6n?n?n3
2
所以这段时间行驶的路程为 km.
3
12．(创新拓展)求直线x＝0，x＝2，y＝0与二次函数曲线f(x)＝4x＋2x＋1所围成的曲边梯形的面积．
解 (1)分割：将[0,2] n等分，则?
2
?2i－1，2i?(i＝1,2，…，n)的区间长度Δx＝2，nn?n??
原曲边梯形分割成n个小曲边梯形，如图所示．
- 4 -
(2)用f?
?2i－1?作为第i个小曲边梯形的高作成小矩形，并用小矩形面积近似替代相
??n?
应小曲边梯形面积． (3)n个小矩形面积之和
nSn＝?f[
2
i－1
i＝1
n]Δx n＝?[
16
i－12
＋
4i－1i＝1
n2
n＋1]2
n ＝??1622
2
?n2[1＋2＋…＋n－1]＋4
n[1＋2＋…＋
＝32181n3·6n(n－1)(2n－1)＋n2·2n(n－1)＋2 ＝
16?1?3??1－n?????2－1n???＋4???1－1n???
＋2 (4)所求曲边梯形面积S＝ n→∞limSn ＝ ??16?1??1??1?3??1－n????2－n??＋4??1－n???＋2???
＝163(1－0)(2－0)＋4(1－0)＋2＝32503＋6＝3
. n－1]＋n??2
?
n
- 5 -
高中数学《1.5定积分的概念》评估训练 新人教A版选修2-2
