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模板2 立体几何问题
(满分15分)如图， 已知四棱锥PABCD，△PAD是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点. (1)证明：CE∥平面PAB； (2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. 满分解答 得分说明 (1)证明 如图， 设PA中点为F，连接EF，FB. 因为E，F分别为PD，PA中点， 1所以EF∥AD且EF＝AD， (1分) 21又因为BC∥AD，BC＝AD， 2①能指出EF∥AD， 第一步 由线线平行得平行四边解题模板 BC∥AD各得1分； 形； ②能得到CE∥BF，得3分； (2分) ③条件CE平面第二步 由线线平行得线面平行； 所以EF∥BC且EF＝BC， PAB与BF平面PAB第三步 由线线垂直得线面垂直； 即四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF. (5分) 错1个扣1分； 又因为CE平面PAB， BF平面PAB， 因此CE∥平面PAB. (6分) 1
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(2)解 分别取BC，AD的中点为M，N， 连接PN交EF于点Q，连接MQ. 因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为 第四步 得出线④指出MQ∥CE得1分； ⑤指出PN⊥AD，BN面角； 第五步 在三角形中计算各个EF中点， 在平行四边形BCEF中，MQ∥CE. (7分) 由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD. 1由DC⊥AD，BC∥AD，BC＝AD，N是AD的中点得BN2⊥AD. 因为PN∩BN＝N，所以AD⊥平面PBN.(9分) 由BC∥AD得BC⊥平面PBN， ⊥AD，PN∩BN＝N，边，求值. 得2分，缺1个条件扣1分； 因为BC平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBN. (11分) 过点Q作PB的垂线，垂足为H，则QH⊥平面PBC.连接MH，则MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠⑥得出BC⊥平面PBN得2分； ⑦指出∠QMH是所求角，得到1分； QMH是直线CE与平面PBC所成的角．设CD＝1. (12分) ⑧计算正确得3错误一个量扣1在△PCD中，由PC＝2，CD＝1，PD＝2得CE＝2， 分．分. 1在△PBN中，由PN＝BN＝1，PB＝3得QH＝， 412在Rt△MQH中，QH＝，MQ＝2，所以sin∠QMH＝， 48所以，直线CE与平面PBC所成角的正弦值是(15分) 2. 8 2
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【训练2】 如图，三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱长均为2，A1B＝6，
A1B⊥AC.
(1)求证：A1C1⊥B1C；
(2)求直线AC和平面ABB1A1所成角的余弦值． (1)证明 法一 取AC的中点O，连接A1O，BO， ∴BO⊥AC.
∵A1B⊥AC，A1B∩BO＝B，
A1B平面A1BO，BO平面A1BO，
∴AC⊥平面A1BO.
连接AB1交A1B于点M，连接OM，则B1C∥OM， 又∵OM平面A1BO，∴AC⊥OM，∴AC⊥B1C. ∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥B1C.
法二 连接AB1，BC1，∵四边形A1ABB1是菱形， ∴A1B⊥AB1，
又∵A1B⊥AC，AB1∩AC＝A，∴A1B⊥平面AB1C， ∴A1B⊥B1C，
又∵四边形B1BCC1是菱形，∴BC1⊥B1C， 又∵A1B∩BC1＝B，∴B1C⊥平面A1BC1， ∴B1C⊥A1C1.
(2)解 由法二知A1B⊥平面AB1C， 又∵A1B平面ABB1A1， ∴平面AB1C⊥平面ABB1A1. ∵平面AB1C∩平面ABB1A1＝AB1， ∴AC在平面ABB1A1内的射影为AB1， ∴∠B1AC为直线AC和平面ABB1A1所成的角． ∵AB2
2
1＝2AM＝2AB－BM＝10， ∴在Rt△ACBAC1中，cos∠B1AC＝
AB＝210
＝10， 15∴直线AC和平面ABB10
1A1所成角的余弦值为5
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