即恒成立,由于
是减函数,故.
. 故只要在区间
即可 上的最大值是
,
(Ⅲ)由已知函数 最小值是
由题设,故的取值范围为 .
【点睛】含参数的奇函数或偶函数,可通过取特殊的自变量的值来求参数的大小,注意最后检验必不可少.含参数的不等式的恒成立问题,优先考虑参变分离的方法,把问题归结为不含参数的函数的值域问题.与对数有关的函数问题,在转化过程中注意真数总是正数的要求. 20.已知函数
为,且图象上一个最高点为(Ⅰ)求
,其中
.
.
图象中相邻两条对称轴间的距离
的解析式和单调递增区间;
的图象向右平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来
,求
在区间
上的值域.
(Ⅱ)
.
(Ⅱ)先把函数
的倍(纵坐标不变),得到函数【答案】(Ⅰ)【解析】 【分析】
(Ⅰ)根据相邻对称轴的距离得到根据
的增区间求得
,增区间
,再根据最高点得到后可得函数的解析式,最后
的增区间.
的解析式为
,求出
的范围
(Ⅱ)根据平移变换和周期变换的规则可得之后可得函数的值域. 【详解】(Ⅰ)由题设又函数
图象上一个最高点为
.
由
得:
,所以.所以
,即
,∴
,
的解析式是
.
故单调递增区间
,
,
在区间
上的值域是
.
.
,
(Ⅱ)由题意可得所以故
【点睛】(1)三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换,注意周期变换和平移变换(左右平移)的次序对函数解析式的影响,比如
,它可以由
先向左
平移个单位,再纵坐标不变,横坐标变为原来的,也可以先保持纵坐标不变,横坐标变为原来的,再向左平移. (2)函数
在给定范围的值域问题,应先求
的范围再利用
求原来
函数的值域,切记不可代区间的两个端点求函数的值域,除非我们能确定函数在给定的范围上是单调的.
21.为净化新安江水域的水质,市环保局于2017年底在新安江水域投入一些蒲草,这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快,2018年二月底测得蒲草覆盖面积为盖面积为
,蒲草覆盖面积(单位:与
,2018年三月底测得覆
)与月份(单位:月)的关系有两个函数模型
可供选择.
(Ⅰ)分别求出两个函数模型的解析式; (Ⅱ)若市环保局在2017年年底投放了由;
(Ⅲ)利用(Ⅱ)的结论,求蒲草覆盖面积达到
(参考数据:【答案】(Ⅰ)【解析】 【分析】
(Ⅰ)根据题设条件得到每个函数中两个参数的方程组,解这些方程组可得函数的解析式. (Ⅱ)根据(Ⅰ)中的函数计算(Ⅲ)不等式
时的函数值,比差的绝对值较小的函数为更合适的模型.
,
,
) (Ⅱ)模型
更为合适 (Ⅲ) 9月 . 的最小月份.
的蒲草,试判断哪个函数模型更合适?并说明理
的最小正整数解即为所求的月份.
【详解】(Ⅰ)由已知 ,所以,
由已知 ,所以.
(Ⅱ)若用模型
若用模型易知,使用模型
,则当,则当
时,时,
, ,
更为合适.
(Ⅲ)由,
故,
故蒲草覆盖面积达到的最小月份是9月.
【点睛】生活中一些现象可以用不同的数学模型来刻画,最佳模型可以根据数据对应的散点图形状来选择,也可以根据误差较小原则来确定最佳模型. 22.已知(Ⅰ)若(Ⅱ)若
在平面直角坐标系
中,其顶点
坐标分别为的值; 的最小值.
,
,
.
,且为第二象限角,求,且
,求 (Ⅱ)
.
【答案】(Ⅰ) 【解析】 【分析】 (Ⅰ)根据
可得
,利用同角的三角函数的基本关系式可求
的解析式,再利用二次函数求
. 的最小
(Ⅱ)先求出的坐标,用表示的坐标后可得值.
【详解】(Ⅰ)由已知 由
得: 得:
,
,故
故 故(Ⅱ) 由 由得:故当
时,
取最小值
.
,
,知点坐标是
,
,
.
,又为第二象限角,.
,
,
,
【点睛】(1)同角的三角函数的基本关系式中,是知一求二,解题中注意相互之间的联系. (2)如果
,则
三者之间的关系
(即为两点间的距离公式).
安徽省黄山市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题



