即恒成立，由于
是减函数，故.
. 故只要在区间
即可 上的最大值是
，
（Ⅲ）由已知函数 最小值是
由题设，故的取值范围为 .
【点睛】含参数的奇函数或偶函数，可通过取特殊的自变量的值来求参数的大小，注意最后检验必不可少.含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，把问题归结为不含参数的函数的值域问题.与对数有关的函数问题，在转化过程中注意真数总是正数的要求. 20.已知函数
为，且图象上一个最高点为（Ⅰ）求
，其中
．
.
图象中相邻两条对称轴间的距离
的解析式和单调递增区间；
的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来
，求
在区间
上的值域.
（Ⅱ）
.
（Ⅱ）先把函数
的倍（纵坐标不变），得到函数【答案】（Ⅰ）【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据相邻对称轴的距离得到根据
的增区间求得
,增区间
，再根据最高点得到后可得函数的解析式，最后
的增区间.
的解析式为
，求出
的范围
（Ⅱ）根据平移变换和周期变换的规则可得之后可得函数的值域. 【详解】（Ⅰ）由题设又函数
图象上一个最高点为
.
由
得：
，所以．所以
，即
，∴
，
的解析式是
.
故单调递增区间
，
，
在区间
上的值域是
.
.
，
（Ⅱ）由题意可得所以故
【点睛】（1）三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，注意周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的影响，比如
，它可以由
先向左
平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的，也可以先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移. （2）函数
在给定范围的值域问题，应先求
的范围再利用
求原来
函数的值域，切记不可代区间的两个端点求函数的值域，除非我们能确定函数在给定的范围上是单调的.
21.为净化新安江水域的水质，市环保局于2017年底在新安江水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2024年二月底测得蒲草覆盖面积为盖面积为
，蒲草覆盖面积（单位：与
，2024年三月底测得覆
）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型
可供选择.
（Ⅰ）分别求出两个函数模型的解析式； （Ⅱ）若市环保局在2017年年底投放了由；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，求蒲草覆盖面积达到
（参考数据：【答案】（Ⅰ）【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据题设条件得到每个函数中两个参数的方程组，解这些方程组可得函数的解析式． （Ⅱ）根据（Ⅰ）中的函数计算（Ⅲ）不等式
时的函数值，比差的绝对值较小的函数为更合适的模型．
,
，
） （Ⅱ）模型
更为合适 （Ⅲ） 9月 . 的最小月份．
的蒲草，试判断哪个函数模型更合适？并说明理
的最小正整数解即为所求的月份．
【详解】（Ⅰ）由已知 ，所以，
由已知 ，所以.
（Ⅱ）若用模型
若用模型易知，使用模型
，则当，则当
时，时，
， ，
更为合适.
（Ⅲ）由，
故，
故蒲草覆盖面积达到的最小月份是9月.
【点睛】生活中一些现象可以用不同的数学模型来刻画，最佳模型可以根据数据对应的散点图形状来选择，也可以根据误差较小原则来确定最佳模型. 22.已知（Ⅰ）若（Ⅱ）若
在平面直角坐标系
中，其顶点
坐标分别为的值； 的最小值.
，
，
.
，且为第二象限角，求，且
，求 (Ⅱ)
.
【答案】（Ⅰ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据
可得
，利用同角的三角函数的基本关系式可求
的解析式，再利用二次函数求
. 的最小
（Ⅱ）先求出的坐标，用表示的坐标后可得值.
【详解】（Ⅰ）由已知 由
得： 得：
，
，故
故 故(Ⅱ) 由 由得：故当
时，
取最小值
.
，
，知点坐标是
，
，
.
，又为第二象限角，.
，
，
，
【点睛】（1）同角的三角函数的基本关系式中，是知一求二，解题中注意相互之间的联系. （2）如果
，则
三者之间的关系
（即为两点间的距离公式）.
安徽省黄山市2024-2024学年高一上学期期末考试数学试题
