导数的概念及运算
知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数
中，如果自变量在
处有增量
，那么函数值y也相应的有增量△
y=f(x0+△x)-f(x0)，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即
。
若到
，，则平均变化率可表示为，称为函数从
的平均变化率。
注意：
①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；
②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当情况。 ③
是自变量在
处的改变量，
；而
是函数值的改变量，可以是0。函数
更小考虑。
取值越小，越能准确体现函数的变化
的平均变化率是0，并不一定说明函数
（2）平均变化率的几何意义
没有变化，应取
函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像
上两点割线的斜率。
如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。
事实上，
。
作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的概念： 1．导数的定义： 对函数
，在点
处给自变量x以增量
，函数y相应有增量
。若极限
点
处的导数，记作
或
，此时也称
在点
存在，则此极限称为处可导。
在
即： 注意： ①增量
可以是正数，也可以是负数；
（或）
②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数： 如果函数应着一个确定的导数
在开区间
内的每点处都有导数，此时对于每一个
, 称这个函数
，都对为函数
，从而构成了一个新的函数
在开区间内的导函数，简称导数。
注意：函数的导数与在点处的函数值，反映函数
在
处的导数不是同一概念，
附近的变化情况。
是常数，是函数
在
3．导数几何意义： （1）曲线的切线
曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为
当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，
即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。
若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。 即：
。
(2)导数的几何意义： 函数 注意： ①若曲线 ②
在点
处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直。
，切线与轴正向夹角为钝角；
在点x0的导数
是曲线
上点（
）处的切线的斜率。
，切线与轴正向夹角为锐角；
,切线与轴平行。
(3)曲线的切线方程 如果
在点
可导，则曲线
。
在点（
）处的切线方程为：
4．瞬时速度：
物体运动的速度等于位移与时间的比，而非匀速直线运动中这个比值是变化的，如何了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度，我们采用瞬时速度这一概念。
如果物体的运动规律满足s=s(t)(位移公式)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体t到t+△t这段时间内，当△t→0时平均速度的极限，即
。
如果把函数
看作是物体的位移公式），导数
表示运动物体在时刻的瞬时速
度。
规律方法指导
1．如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出
和
②作商：对所求得的差作商，即 注意：
。
（1）值不能为零，
的值可以为零。若函数
，式子中、的值可正、可负，但。
的
为常数函数时，
（2）在式子
。
中，与是相对应的“增量”，即在时，
（3）在式子中，当取定值，取不同的数值时，函数的平均
变化率不同；当取定值，取不同的数值时，函数的平均变化率也不一样。
2．如何求函数在一点处的导数
（1）利用导数定义求函数在一点处的导数，通常用“三步法”。 ①计算函数的增量：
；
②求平均变化率：；
③取极限得导数：
（2）利用基本初等函数的导数公式求初等函数的导数。 3．导数的几何意义 ①设函数处的切线的斜率。 ②设 ③设
是位移关于时间的函数，则是速度关于时间的函数，则
表示物体在表示物体在
在点
的导数是
，则
表示曲线
。
在点（）
时刻的瞬时速度； 时刻的加速度；
4．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 ①求出
在
处的导数
；
。
②利用直线方程的点斜式得切线方程为类型一：求函数的平均变化率
1、求
在
到
之间的平均变化率，并求，时平均变化
率的值.
思路点拨：求函数的平均变化率，要紧扣定义式
进行操作.
举一反三：
【变式1】求函数y=5x2+6在区间[2，2+
【变式2】已知函数 （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001].
，分别计算
在下列区间上的平均变化率： ]内的平均变化率。
【变式3】自由落体运动的运动方程为内的平均速度（位移s的单位为m）。
【变式4】过曲线时割线的斜率.
上两点
和
，计算t从3s到3.1s，3.01s，3.001s各段
作曲线的割线，求出当
导数的概念、导数公式与应用
