函数与它的表示法
一、学习目标
1、 能正确画出直角坐标系；并能在直角坐标系中，根据点的坐标找出点，由点求出点的
坐标。
2、 能分清实例中出现的常量与变量、自变量与函数；对简单的函数表达式，能确定自变
量的取值范围，并会求出函数值。
3、 能画出简单函数的图象；知道不仅可以用解析法，而且还可以用列表法和图象法表示
函数。
二、教材简析
函数是数学中的重要概念之一，它使我们从研究不变的量，转化为研究变量之间的相依关系。函数不仅是一个重要的概念，也是一种很重要的数学思想方法。通过函数概念和图象的学习可以用几何图形来解析代数问题，使代数问题变得更形象、直观，便于理解，另一方面，也可以用代数方法来研究几何问题。
本章内容包括三个单元。第一单元是直角坐标系的初步知识，第二单元是函数及其图象，第三单元是常见的几种函数，包括一次函数(正比例函数)、二次函数、反比例函数及其图象。(本讲主要学习巩固第一、二单元，第三单元留待下学期复习)。
学习直角坐标系，建立有序实数与平面内的点的一一对应关系，为研究函数的图象作准备。学习函数概念，首先要了解常量、变量概念，用动态的观点来看问题。弄清函数的本质是具有某些特点的对应关系，抓住函数对自变量的依从关系就是函数与自变量的对应关系。函数关系中自变量的取值范围是函数存在的不可缺少的部分。
了解函数有三种表示方法，即解析法、列表法和图象法。能正确迅速地列表、描点并绘出函数图象，(以下为下学期内容)要逐步学会用图象总结函数的性质，由函数的性质能想象出表达式中自变量x与函数y的变化情况。
本章重点是函数的概念、函数解析式与图象性质的内在联系。能灵活地进行数与形之间的变换是难点。
三、本讲(即第一、二单元)的重点内容有
1、 掌握x轴、y轴上和四个象限内点的坐标的特征。
2、 懂得建立了平面直角坐标系，就使平面上的点与一对有序实数之间建立起一一对应关
系，建立数与形之间的联系，初步了解数形结合思想。
3、 对函数概念的理解和自变量取值范围的确定。 4、 函数的三种表示方法及用描点法画函数图像。
四、基本内容及应注意的问题
1、 平面直角坐标系是以数轴为基础的，坐标平面内的点的坐标也是利用数轴上点的坐标
来定义的。有关直角坐标系的概念比较多，学习时应紧密结合图形，不能死记硬背定义，看到一个概念，脑子里要能马上反映出相关的图形。如对“象限”的理解，关键在于结合直角坐标系，能指出各个象限的位置，进而明确坐标轴上的点不属于任何一个象限的真正含义。
2、 对于函数的意义，在初中阶段主要应领会两点：一是有两个变量，二是一个变量的数
值随着另一个变量的数值变化而变化。
3、 关于函数自变量的取值范围问题，主要包含两个方面：一是自变量的取值使函数解析
式有意义，这是常用的一个方面，也是以前学过的知识；二是自变量的取值使实际问题有意义，这一方面虽然用的不多，但需要对实际问题作具体分析，有一定难度。
4、 关于函数值的问题，可以和求代数式的值的问题联系起来，注意运算的熟练与准确程
度。
5、 对于函数的三种常用的表示方法，应该有这样的认识：给出一种函数关系，根据需要，
有时可以写出它的解析表达式，有时可以列出函数与其自变量的对应数值表，有时也可以画出它的图象；反过来，也可以用一个解析式，或一个反映两个变量的对应关系的数值表，或一个图象，来表示一个函数关系。
6、 关于函数图象的意义，要注意到是“把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的
横坐标与纵坐标。”
五、例题
例1：若点P(3m-2,5-2m)在第二象限，求m的取值范围
解：∵点P(3m-2,5-2m)在第二象限 ∴3m-2＜0 解得：m＜ 5-2m＞0 注：根据各象限内点的横纵坐标的特征列出两个不等式，组成不等式组即可求得。 例2：若A点坐标为(m,n)，它关于原点的对称点为A1，而A1关于x轴的对称点为A2，且点A2的坐标为(3,-4)，求m、n的值。
解：∵A点坐标为(m,n)
∴A点关于原点的对称点A1的坐标为(-m,-n)，A1点关于x轴的对称点A2的坐标为(-m,n) 又∵点A2的坐标为(3,-4) ∴ -m=3 即：m=-3 n=-4 n=-4 注：本题是按题意中的对称关系顺次由点A的坐标推得点A2的坐标。由于点的轴对称和中心对称关系是相互的，所以本题也可由点A2的坐标逆方向求点A的坐标，即：A2(3,-4)→A1(3,4)→A(-3,-4)→m=-3,n=-4
例3：已知点P(a,a-b)在第四象限，求：(1)Q(-a,b)所在象限。(2)若a=b，则P点和Q点在什么位置？
解：(1)∵P(a,a-b)在第四象限 ∴a＞0,且a-b＜0 ∴ b＞a＞0 -a＜0
则：Q(-a,b)在第二象限
(2)当a=b时，P、Q两点坐标可分别表示为
P(a,0) Q(-a,a) 又∵a＞0
∴P点在x轴正半轴上，Q点在第二象限角平分线上(原点除外)。
注：(1)因为P点在第四象限，横坐标a为正值，纵坐标a-b应为负值，所以b必大于a，也为正数；(2)当点的横、纵坐标相同时，该点在一、三象限角平分线上。而点的横、纵坐标互为相反数时，点必在二、四象限角平分线上。本例有前提P在第四象限a＞0，所以Q只能在第二象限角平分线上，且原点要除外。
例4：求下列各函数的自变量取值范围
(1)(2)(3)
(4)(5)(6)
(7)
解：(1)∵不论x取什么值，原函数都有意义 ∴x为全体实数
(2)要使函数有意义，必须使15-6x≥0
∴x≤
(3)要使函数有意义，只须3x+5＞0，∴x＞- (4)要使函数有意义，必须使x+2≥0 ∴x≥-2且x≠3
x-3≠0
(5)要使函数有意义，必须使 x-3≥0 即 x≥3 ∴x=3
3-x≥0 x≤3
(6)要使函数有意义，必须使 3-2x≥0 ∴x≤ 1-≠0
且x≠±1
(7)要使函数有意义，必须使x≠0 ∴x≠0,x≠-1且x≠3
x-2x-3≠0 例5：如图，锐角y.求y与x的函数关系式
分析：①学会在图中标注数据 ②EFGH是③EH∥BC提供
∽
的内接矩形，本身隐含着EH∥BC这一条件
∽
中，BC=10，高AD=6，EFGH是它的内接矩形，设EF为x，EH为
2
即：，变形即得：
④x是矩形一边EF的长度，因此0＜x＜6，这里x≠0且x≠6 因为x=0或x=6时矩形都不存在，也就失去了该题的实际意义了。 解：∵EFGH为矩形 ∴EH∥BC
∽
∴
(0＜x＜6)
∽
注：对根据实际问题得到的函数关系，它的自变量取值不仅要使函数解析式有意义，而且还要使实际问题有意义，应根据实际问题的限制，确定自变量的取值范围。
例6：求
，当x=12时的函数值
分析：实质上是当x=12时，求代数式
的值。
解：当x=12时
＝
例7：当x为何值时，
分析：此题即x为何值时
解：当
与y=1-x的函数值相等
成立时
六、练习及作业 （一）、选择题
即：x+x=0 ∴x1=-1,x2=0
2
经检验：x1=-1，x2=0都是原方程的根。∴当x=-1或x=0时，两函数值相等。
1、 点M在第二象限，且M点到x轴距离为2，到y轴距离为3，则M点坐标是：
A、 (2,3) B、(3,2) C、(-2,3) D、(-3,2) 2、 点P(m,-5)在第二、四象限夹角平分线上，则m的值为：
A、
B、－
C、5 D、－5
3、 已知点A(5m-4,3-m)在第二象限，则m的取值范围是：
A、m＜3 B、m＜
C、m＞3 D、
＜m＜3
4、 已知点M(a,0)在x轴的负半轴上，则点N(1+a2,-a)在：
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
5、 已知ab≠0，则坐标平面上四个点A(a,b)、B(-a,-b)、C(a,-b)、D(-a,b)中关于x轴对称
的点是：
A、 A与B，C与D B、A与C，B与D
C、A与D，B与C D、A与B，B与C
6、在下列函数中，与y=x-2图像完全相同的函数是：
A、
C、
（二）、填空题：
B、
D、
7、已知点P的坐标是(m-n,m+n)，则点P关于x轴的对称点坐标是______，点P 关于x轴的对
称点坐标是______，点P关于原点的对称点坐标是______。
8、在x轴上的点_____坐标是零；在第四象限夹角的平分线上的点P坐标
为(m,n)，则m、n的关系是______。
9、以(4,0)为圆心，5为半径画一圆，则此圆与y轴的交点坐标为______。
（三）、解答题：
11、求下面各函数中自变量取值范围
自变量x的取值范围是______。
10、把等腰三角形的一个底角的度数y表示成顶角度数x函数解析式是______，
(1)
(2)
（3）
【精选】九年级数学下册5.1函数与它的表示法教案新版青岛版
