第二章 二次函数
《二次函数的图象与性质（第1课时）》
教学设计说明
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，
经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会了用描点法画函数图象的方法.在本章第一节课中，又学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验.
学生活动经验基础：在学习一次函数、反比例函数过程中，学会了用描
点法画函数图象的方法，学生已具备了一定的作图能力，并经历了利用一次函数、反比例函数图象探索函数性质的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数形结合的必要性和重要性，获得了一些探究函数图象和性质的数学活动经验基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.
二、教学任务分析
教科书基于学生对二次函数的概念认识，提出了本课的具体学习任务：能利用描点法画函数y??x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y??x2的性质.为此，本节课的教学目标是：
知识与技能
1．能够利用描点法画函数y?x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数
y?x2的性质．
2．猜想并能作出y??x2的图象，能比较它与y?x2的图象的异同．
过程与方法
1
1．经历探索二次函数y?x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
2．由函数y?x2的图象及性质，对比地学习y??x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．
情感与态度
1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．
教学重点：作出函数?x2的图象，并根据图象认识和理解二次函数y??x2的性质.
教学难点：由y?x2的图象及性质对比地学习y??x2的图象及性质，并
能比较出它们的异同点.
三、教学过程分析
（一）创设问题情境，引入新课
［师］我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是过原点的一条直线.一般地一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是双曲线.上节课我们学习了二次函数的一般形式为y?ax2?bx?c（其中a、b、c均为常数且a?0）.那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来研究有关问题.
（二）新课讲解
1、作函数y?x2的图象
［师］一次函数的图象是一条直线.二次函数的图象是什么形状呢？让我们先看最简单的二次函数y?x2.大家还记得画函数图象的一般步骤吗？
2
［生］记得. 列表，描点，连线.
［师］非常正确，下面就请同学们跟我按上面的步骤作出y?x2的图象. （1）列表：
x y … … -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 y … … （2）在直角坐标系中描点.
（3）用光滑的曲线连结各点，便得到函数图象.
［师］同学们有没有什么疑惑？
O x ［生］老师，为什么要用光滑的曲线来连接各点呢？在作一次函数图象时我们都是直接用直线来连接各点的，我这里画出的是折线图，难道不对吗？ ［师］这个问题提得好.二次函数图象是到底用直线连接还是用光滑的曲线来连接更为合理呢？不知同学们考虑这个问题没有：列表时我们取的点都是整数点，在整数点之间还有许多小数的点并未取，如自变量1与2之间还有无数个小数，假设我们把点取得更多一些我们就能看出二次函数图象的真正面貌了.不妨取20个点试试，再取50个点试试.
[生]老师，我明白了，取的点足够多时我们就能看出其本来面貌的. 2、议一议
对于二次函数y?x2的图象，
（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流. （2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ （3）当x?0时，随着值的增大，的值如何变化？当x?0时呢？ （4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？ （5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请找出几对对称点，并与同伴进行交流.
［生］（1）图象的形状是一条曲线，就像抛出的物体所进行的路线的倒影. （2）图象与x轴有交点，交于原点，交点坐标就是（0，0）.
（3）当x?0时，图象在y轴的左侧随着x值的增大，y的值逐渐减小；当x?0 3
时，图象在y轴的右侧，随着x值的增大，y的值逐渐增大. （4）观察图象可知，当x=0时，y的值最小，最小值为0.
（5）观察图象是轴对称图形，它的对称轴是y轴，从刚才的列表中可找到对应点（-1，1）和（1，1）；（-2，4）和（2，4）；（-3，9）和（3，9）. ［师］大家分析判断能力很棒，下面我们系统地总结一下. 3、y?x2的图象的性质
［师］二次函数y?x2的图象是一条________，它的开口________,且关于______对称.对称轴与抛物线的交点是抛物线的________,它是图象的_________.同学们在补充一下：
［生］（1）最低点坐标是（0，0）.
（2）在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大.
（3）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）.
（4）因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝0时，y最小值＝0. 4、做一做
PPT显示：y??x2二次函数图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数y?x2的图象有什么关系？与同伴进行交流. ［师］请大家按照画图的步骤作出函数y??x2的图象.
［生］y??x2的图象如右图：形状还是抛物线，只是它的开口方向向下，它与y?x2的图象形状相同，方向相反，这两个图形可以看作是关于x轴对称. ［师］下面我们试着讨论y??x2的图象的性质. ［生］（1）抛物线的开口方向是向下.
（2）它的图象有最高点，最高点坐标是（0，0）.
（3）它是轴对称图形，对称轴是y轴.在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；
O y x 4
在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小.
（4）图象与x轴有交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最高点，坐标为（0，0）.
（5）因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x?0时，y最大值＝0. ［师］大家总结得非常棒.
5、y?x2函数与的y??x2图象的比较.
我们观察函数y?x2与y??x2的图象，并对图象的性质作系统的研究，现在我们再来比较一下它们的图象的异同点.
（1）、开口方向不同，y?x2开口向上，y??x2开口向下.
（2）、函数值随自变量增大的变化趋势不同，在y?x2图象上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x着的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大.在y??x2的图象上正好相反.
（3）、在y?x2中y有最小值，即x?0时，y最小值＝0；在y??x2中，y有最大值.即当x?0时，y最大值＝0.
（4）、y?x2有最低点，y??x2有最高点. 相同点：
（1）、图象都是抛物线.
（2）、图象都与x轴交于点（0，0）. （3）、图象都关于y轴对称. 联系：它们的图象关于x轴对称. 6、思考拓展.
［师］从上面的比较中，还有没有什么问题要提出来？
［生］从y?x2和y??x2两个二次函数的解析式来比较，只是相差一个符号，而图象的张口方向却正好相反.那么二次函数的图象的开口方向到底跟什么有关
5
呢？
［师］很善于思考.我们现在来看这几个二次函数的图象y?2x2、y?3x2（二次项系数均为正值），再来看另几个二次函数图象y??2x2、y??3x2（二次项系数均为负值），你们发现了什么规律？
［生1］原来二次项系数为正时，抛物线开口朝上，二次项系数为负时，抛物线开口朝下.
［生2]老师，我还发现从二次项系数的绝对值来看，绝对值越大，开口越小，绝对值越小，开口越大.
［师］说得非常好，对于y?ax2这类二次函数来说，a与其张口大小、张口方向都有关系.（并就本节整体内容进行总结，并给学生以感想的时间.）
（三）布置作业
设计思路：
先通过列表描点连线初步得到y?x2的图象，进而通过增加满足函数的点数感悟此函数的真正图象，并通过观察图象来了解y?x2函数图象的性质特征.利用相同办法同时研究y??x2图象的性质，并对两函数进行对比，体会造成图象不同的原因，并进而引发学生产生是不是二次函数二次项系数a为正开口向上、二次项系数为负开口向下的疑问并画图验证，而由此又生发出a的绝对值对其张口大小的思考，教师通过课件解惑并归纳.
6
二次函数的图像和性质第一课时
