利用导数研究函数的极值(一)
明目标、知重点.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.掌握函数极值的判定及求法.掌握函数在某一点取得极值的条件．
．极值点与极值
已知函数＝()，设是定义域(，)内任一点，如果对附近的所有点，都有()<()，则称函数()在点处取极大值．记作极大＝()．并把称为函数()的一个极大值点．如果在附近都有()>()，则称函数()在点处取极小值，记作极小＝()．并把称为函数()的一个极小值点． 极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点． ．求函数()极值的方法 第步求导数′()；
第步求方程′()＝的所有实数根；
第步考察在每个根附近，从左到右，导函数′()的符号如何变化．如果′()的符号由正变负，则()是极大值；如果由负变正，则()是极小值．
[情境导学]
在必修中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题？又如何求出这些值？这就是本节我们要研究的主要内容． 探究点一函数的极值与导数的关系
思考如图观察，函数＝()在、、、、、等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？＝()在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，＝()的导数的符号有什么规律？
答以、两点为例，函数＝()在点＝处的函数值()比它在点＝附近其他点的函数值都小，′()＝；在＝的附近的左侧′()<，右侧′()＞.类似地，函数＝()在点＝处的函数值()比它在＝附近其他点的函数值都大，′()＝；在＝附近的左侧′()>，右侧′()<.
小结思考中点叫做函数＝()的极小值点，()叫做函数＝()的极小值；点叫做函数＝()的极大值
点，()叫做函数＝()的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
思考函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？ 答函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个．
思考若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明．
答可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点．可导函数()在处取得极值的充要条件是′()＝且在两侧′()的符号不同．
例如，函数()＝可导，且在＝处满足′()＝，但由于当<和>时均有′()>，所以＝不是函数()＝的极值点．
例求函数()＝－＋的极值． 解′()＝－.
解方程－＝，得＝－，＝. 由′()>，得<－或>； 由′()<，得－<<.
当变化时，′()，()的变化情况如下表：
′() () (－∞，－) ＋ 单调递增↗ － (－) － 单调递减↘ － (，＋∞) ＋ 单调递增↗ 由表可知：当＝－时，()有极大值(－)＝； 当＝时，()有极小值()＝－.
反思与感悟求可导函数()的极值的步骤： ()确定函数的定义区间，求导数′()； ()求方程′()＝的根；
()用函数的导数为的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测′()在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么()在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么()在这个根处无极值． 跟踪训练判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由． ()＝－＋＋； ()＝； ()＝－(－). 解()∵′＝－＋，
令′＝，即－＋＝，解得＝， 当>时，′>；当<时，′>.
∴此函数无极值． ()令＝＝，则＝，且＝ 当>时，＝是单调增函数； 当<时，＝－也是单调增函数． 故函数＝在＝处无极值．
另外，∵当>时，′＝，′＝无解， 当<时，′＝－，′＝也无解， ∴函数＝没有极值． ()当≠时，有′＝－(－)
?13.
当＝时，′不存在，因此，′在＝处不可导．
但在点＝处的左右附近′均存在，当<时，′()>；当>时，′()<. 故＝()在点＝处取极大值，且极大值为()＝. 探究点二利用函数极值确定参数的值
思考已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？
答解这类问题，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件． 例已知()＝＋＋＋在＝－时有极值，求常数，的值． 解因为()在＝－时有极值， 且′()＝＋＋， 所以即 解之得或
当＝，＝时，′()＝＋＋＝(＋)≥， 所以()在上为增函数，无极值，故舍去． 当＝，＝时，′()＝＋＋＝(＋)(＋)． 当∈(－，－)时，()为减函数； 当∈(－，＋∞)时，()为增函数， 所以()在＝－时取得极小值，因此＝，＝.
反思与感悟()利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
()因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．
跟踪训练设＝与＝是函数()＝＋＋的两个极值点．
()试确定常数和的值；
()判断＝，＝是函数()的极大值点还是极小值点，并说明理由． 解()∵()＝＋＋， ∴′()＝＋＋.
由极值点的必要条件可知：′()＝′()＝， ∴＋＋＝且＋＋＝， 解方程组得，＝－，＝－. ()由()可知()＝－－＋，
且函数()＝－－＋的定义域是(，＋∞)， ′()＝－－＋＝－.
当∈()时，′()＜；当∈()时，′()＞； 当∈(，＋∞)时，′()＜； 所以，＝是函数()的极小值点， ＝是函数()的极大值点． 探究点三函数极值的综合应用 例已知函数()＝－＋＋(，∈)． ()求函数()的单调递增区间；
()若对任意∈[]，函数()在上都有三个零点，求实数的取值范围． 解()因为()＝－＋＋， 所以′()＝－＋＝－(－)．
当＝时，′()＝－≤，函数()没有单调递增区间；当>时，令′()>，即－(－)>，解得<<，故函数()的单调递增区间为(，)；当<时，令′()>，即－(－)>，解得<<，故函数()的单调递增区间为(，)．
()由()知，∈[]时，函数()的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(－∞，)和(，＋∞)． 所以()极大值＝()＝＋， ()极小值＝()＝.
由于对任意∈[]，函数()在上都有三个零点， 所以即解得－<<.
因为对任意∈[]，>－恒成立， 所以>(－)＝－＝－.
所以实数的取值范围为(－)．
反思与感悟用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与轴的交点个数，从而判断方程根的个数． 跟踪训练设函数()＝－＋，∈.
－
()求函数()的单调区间和极值；
()若关于的方程()＝有三个不同的实根，求实数的取值范围． 解()′()＝－，令′()＝， 解得＝－，＝.
因为当>或＜－时，′()＞； 当－＜＜时，′()＜.
所以，()的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)； 单调递减区间为(－，)． 当＝－时，()有极大值＋； 当＝时，()有极小值－.
()由()的分析知＝()的图象的大致形状及走向如图所示． 所以，当－＜＜＋时，
直线＝与＝()的图象有三个不同的交点， 即方程()＝有三个不同的实根．
．“可导函数＝()在一点的导数值为”是“函数＝()在这点取得极值”的() ．充分不必要条件．必要不充分条件 ．充要条件．既不充分也不必要条件 答案
解析对于()＝，′()＝，′()＝，
不能推出()在＝处取极值，反之成立．故选.
.函数()的定义域为，导函数′()的图象如图所示，则函数()() ．无极大值点，有四个极小值点 ．有三个极大值点，两个极小值点 ．有两个极大值点，两个极小值点 ．有四个极大值点，无极小值点 答案
解析′()的符号由正变负，则()是极大值，′()的符号由负变正，则()是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．
．已知()＝＋＋(＋)＋有极大值和极小值，则的取值范围为() ．－<<．－<< ．<－或>．<－或> 答案
解析′()＝＋＋＋，
因为()既有极大值又有极小值， 那么Δ＝()－××(＋)>， 解得>或<－.
．设∈，若函数＝＋，∈有大于零的极值点，则的取值范围为． 答案(－∞，－)
解析′＝＋，由′＝得＝(－)． 由题意知(－)>，∴<－.
．直线＝与函数＝－的图象有三个相异的交点，则的取值范围是． 答案－<< 解析′()＝－.
令′()＝可以得到＝或＝－， ∵()＝－，(－)＝，∴－<<. [呈重点、现规律]
．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
．函数的极值是函数的局部性质．可导函数()在点＝处取得极值的充要条件是′()＝且在＝两侧′()符号相反．
．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．
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