小学+初中+高中+努力=大学
2.1.1 椭圆及其标准方程
[A.基础达标]
xy?π?1．设α∈?0，?，方程＋＝1是表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取
2?sin αcos α?
值范围是( )
?π?A.?0，?
4??
?π?C.?0，?
4??
22
?ππ?B.?，?
?42??ππ?D.?，? ?42?
?π?所以α∈?0，π?.
解析：选C.由题意可得：0＜sin α＜cos α，又因为α∈?0，?，??2?4???
→→2
2．已知椭圆＋y＝1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且MF1·MF2＝0，则点M到x4
轴的距离为( )
2326A. B.
33
C.3 3
D.3
x2
→→→→2222
解析：选C.因为MF1·MF2＝0，所以MF1⊥MF2，故|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|＝4c＝12，① |MF1|＋|MF2|＝2a＝4，②， 由①②得|MF1|·|MF2|＝2.
|MF1|·|MF2|23
故点M到x轴的距离为＝＝. |F1F2|2333．已知周长为16的△ABC的两顶点与椭圆M的两个焦点重合，另一个顶点恰好在椭圆
M上，则下列椭圆中符合椭圆M条件的是( )
A.C.
＋＝1 2516
x2x2
y2
B.x2
25
＋＝1 9
y2
＋＝1 D.＋＝1 16994
解析：选A.不妨设B、C分别为椭圆M的两个焦点，点A在椭圆上，故|AB|＋|AC|＝2a，|BC|＝2c，|AB|＋|AC|＋|BC|＝2a＋2c＝16，即a＋c＝8.对于A：a＋c＝8，满足要求；对于B：a＋c＝5＋4＝9，排除B.对于C：a＋c＝4＋7，排除C；对于D：a＋c＝3＋5，排除D.故选A.
22
4．与椭圆9x＋4y＝36有相同焦点，且b＝25的椭圆方程是( )
A.C.
＋＝1 2520＋＝1 2045
2
2
y2x2y2
x2x2
y2y2
B.D.＋＝1 8085＋＝1 2025
x2x2
y2y2
解析：选D.9x＋4y＝36的焦点坐标为(0，±5)．对于A：焦点坐标为(±5，0)，b＝25，排除A；对于B：焦点坐标为(0，±5)，b＝45，排除B；对于C：焦点坐标为(0，±5)，b＝25，排除C.选项D符合要求．
5.如图，椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐
259
标原点)的值为( ) 小学+初中+高中+努力=大学
x2y2
小学+初中+高中+努力=大学
B．2 3
C．4 D. 2
解析：选C.由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，又|MF1|＝2，所以|MF2|＝8，由于N1
为MF1的中点，所以ON为△F1MF2的中位线，所以|ON|＝|MF2|＝4.
2
6．已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是________．
解析：由题意得：|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>|F1F2|＝2， 所以动点P是以F1、F2为焦点的椭圆，且a＝2，c＝1，
所以b＝a－c＝3，轨迹方程为＋＝1.
43答案：＋＝1
43
7．已知椭圆＋y＝1的焦点为F1，F2，设P(x0，y0)为椭圆上一点，当∠F1PF2为直角时，
5
点P的横坐标x0＝________．
解析：由椭圆的方程为＋y＝1，
5
得c＝2，
→
所以F1(－2，0)，F2(2，0)，PF1＝(－2－x0，－y0)， →
PF2＝(2－x0，－y0)． 因为∠F1PF2为直角，
→→
所以PF1·PF2＝0，
22
即x0＋y0＝4，① 又＋y0＝1，② 5
1522
①②联立消去y0得x0＝，
4所以x0＝±答案：±
15. 2
2
2
2
A．8
x2y2
x2y2
x2
2
x2
2
x20
2
15
2
x2y2
8．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1Pab到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是________．
解析：如图，依题意：|PF1|＋|PF2|＝2a(a＞0是常数)． 又因为|PQ|＝|PF2|，所以|PF1|＋|PQ|＝2a，
即|QF1|＝2a.所以动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆．
小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
答案：以F1为圆心，2a为半径的圆
9．在△ABC中， ∠A，∠B，∠C所对的三边分别是a，b，c，且|BC|＝2，求满足b，a，c成等差数列且c>a>b的顶点A的轨迹．
解：由已知条件可得b＋c＝2a，则|AC|＋|AB|＝2|BC|＝4>|BC|，结合椭圆的定义知点A在以B，C为焦点的一个椭圆上，且椭圆的焦距为2.
以BC所在的直线为x轴，BC的中点为原点O，建立平面直角坐标系，如图所示．
x2y222
设顶点A所在的椭圆方程为2＋2＝1(m>n>0)，则m＝2，n＝2
mnx2y22
－1＝3，从而椭圆方程为＋＝1.又c>a>b且A是△ABC的顶点，结合图形，易知x>0，y4
3
≠0.
故顶点A的轨迹是椭圆＋＝1的右半部分除去与x轴，y轴的交点．
43
10．设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，
94
|PF1|
(1)若PF1⊥PF2，且|PF1|>|PF2|，求的值．
|PF2|
(2)当∠F1PF2为钝角时，求|PF2|的取值范围． 解：(1)因为PF1⊥PF2，所以∠F1PF2为直角，
222
则|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
22
??20＝|PF1|＋|PF2|，所以?
?|PF1|＋|PF2|＝6，?
|PF1|
解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以＝2.
|PF2|
(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝6. 因为∠F1PF2为钝角，所以cos∠F1PF2<0.
2
r21＋r2－2022
又因为cos∠F1PF2＝<0，所以r1＋r2<20，所以r1r2>8，所以(6－r2)r2>8，
2r1r2
所以2 即|PF2|的取值范围是(2，4)． [B.能力提升] 1．已知点P是椭圆＋＝1(x≠0，y≠0)上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是 168 →→ 坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且F1M·MP＝0，则|OM|的取值范围是( ) A．[0，3) B．(0，22) C．[22，3) D．[0，4] 解析：选B.延长F1M交PF2的延长线于点N， 11 可得|OM|＝|F2N|＝(|PN|－|PF2|) 22 1 ＝(2a－2|PF2|)＝a－|PF2|. 2 设点P的坐标为(x0，y0)， 小学+初中+高中+努力=大学 x2y2 x2y2 x2y2 小学+初中+高中+努力=大学 则＋＝1. 168 |PF2|＝（x0－22）＋y0＝＝4－2 x0， 2 2 2 x20y20 2 |x0－42| 2 22x0)＝x0. 22 由题意知x0∈(－4，0)∪(0，4)． 又因为|OM|＞0， 所以|OM|∈(0，22)． 故|OM|＝a－|PF2|＝4－(4－ 2．已知椭圆C：＋y＝1的焦点F(1，0)，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点 2 →→→ B，若FA＝3FB，则|AF|＝( ) A.3 B．2 C.2 D．3 解析：选C.如图所示，设l与x轴交于点A1，过B点作x轴的垂线BB1，交x轴于点B1，→ 设|AF|＝t， t→ 则|FB|＝， 3 得：|AA1|＝t－1，|BB1|＝→ → 2 x2 2 → t2－1 3 ， 1t2－1??4 |FB1|＝，故B?，?， 33??3 42代入椭圆方程得： ???3??? 2 ＋ t2－1 9 ＝1， 得：t＝2. 3．已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为________． x2y2 解析：设椭圆的标准方程为2＋2＝1. ab22 a－b＝1， 2 ?a＝4，?9 ?? 由题意可得?得? ?14b＝3，? ＋＝1，??ab2 2 2 故椭圆C的方程为＋＝1. 43答案：＋＝1 43 sin A＋sin B4．已知△ABC的顶点A(－2，0)和B(2，0)，顶点C在椭圆＋＝1上，则 1612sin C＝________． 解析：设∠A、∠B、∠C的对边分别为a1，b1，c1， a＝4，b＝23，c＝a2－b2＝2. a1＋b1＝2a＝8，c1＝2c＝4， x2y2 x2y2 x2y2 小学+初中+高中+努力=大学 小学+初中+高中+努力=大学 由sin A＝，sin B＝，sin C＝得 2R2R2Rsin A＋sin Ba1＋b18 ＝＝＝2. sin Cc14答案：2 a1b1c1 x2y2 5．已知F1，F2为椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直 ab于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|＝d. (1)证明：d，b，a成等比数列； (2)若M的坐标为(2，1)，求椭圆C的方程． 解：(1)证明：由条件知M点的坐标为(c，y0)，其中|y0|＝d， c2d2c2b2 所以2＋2＝1，d＝b·1－2＝， abaadb所以＝，即d，b，a成等比数列． ba2??a＝2，?b＝a·1，?(2)由条件知c＝2，d＝1，所以2所以? 2 ?a＝b＋2，??b＝2， x2y2 所以椭圆C的方程为＋＝1. 42 6．(选做题)(1)设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B→→→→ 两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP＝2PA，且OQ·AB＝1，求P点的轨迹方程． 2222 (2)已知圆M：(x＋1)＋y＝1，圆N：(x－1)＋y＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程． 解：(1)由题意Q坐标为(－x，y)(x>0，y>0)，设A(x0，0)，B(0，y0)， →→ 由BP＝2PA得(x，y－y0)＝2(x0－x，－y)， 3???x＝2x－2x，x＝x，00? 2?所以即? ??y－y0＝－2y，? ?y0＝3y. →→ 由OQ·AB＝1得(－x，y)·(－x0，y0)＝1， y0＝3y，??322 所以x0x＋y0y＝1，把?3代入上式得x＋3y＝1(x>0，y>0)． 2x0＝x?2? (2)由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2. 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点的椭圆(与x轴的左交点除外)，又 a＝2，c＝1，得b＝3，故其方程为＋＝1(x≠－2)． 4 3 2 x2y2 小学+初中+高中+努力=大学
配套K122018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程作业2
