第十六届中国东南地区数学奥林匹克
1．求最大的实数k，使得对任意正数a，b，均有(a?b)(ab?1)(b?1)?kab．
2．如图，两圆?1，?2交于A，B两点，C，D为?1上两点，E，F为?2上两点，满足A，B分别在线段CE，DF内，且线段CE，DF不相交．设CF与?1，?2分别交于点K??C?，L??F?，DE与?1，
2?2分别交于点M??D?，N??E?．
证明：若?ALM的外接圆与?BKN的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等．
3．函数f:N?N满足：对任意正整数a，b，均有f?ab?整除maxf?a?,b．是否一定存在无穷多
**??个正整数k；使得f?k??1？证明你的结论．
4．将一个2?5方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所示．
现有一个固定放置的9?18方格表．若用18面上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说明理由．
第十六届中国东南地区数学奥林匹克
5．称集合S?{1928,1929,1930,L,1949}的一个子集M为“红色”的子集，若M中任意两个不同的元素之和均不被4整除．用x，y分别表示S的红色的四元子集的个数，红色的五元子集的个数．试比较x，y的大小，并说明理由．
6．设a，b，c为给定的三角形的三边长．若正实数x，y，y满足x?y?z?1，求axy?byz?czx的最大值．
7．设ABCD为平面内给定的凸四边形．证明：存在一条直线上的四个不同的点P，Q，R，S和一个正方形A?B?C?D?，使得点P在直线AB与A?B?上，点Q在直线BC与B?C?上，点R在直线CD与C?D?上，点S在直线DA与D?A?上．
??8．对于正整数x?1，定义集合Sx?pp为x的素因子,?为非负数,px,且??vp?x??mod2?，其中
??vp?x?表示x的标准分解式中素因子p的次数，并记f?x?为Sx中所有元素之和．约定f?1??1．
今给定正整数m．设正整数数列a1，a2，L，an，L满足：对任意整数n?m，
an?1?max?f?an?,f?an?1?1?,L,f?an?m?m??．
（1）证明：存在常数A，使得当正整数x有至少两个不同的素因子时，必有f(x)?Ax?B； B?0?A?1?，（2）证明：存在正整数Q，使得对所有n?N，an?Q．
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参考答案
1．原不等式
?a2b??1?b2?a?b(b?1)?kab2 b????ab??1?b2???(b?1)?kb2
a??单独考虑左边，左边可以看成是一个a的函数、b为参数，那么关于a取最小值的时候有
????b?b?2232ab??1?b(b?1)?(b?1) ????ab??1?b???(b?1)????aa????于是我们只需要取k?(b?1)b即可．
3?2
27(b?1)3(b?1)2(b?2)?f(b)?设f(b)?，那么，演算可知是的极小值点，那么，f?f(2)?fb?2min23bb4即kmax?27，取极值时有a?1，b?2． 42评析1．不等号的左边和右边都不对称，但是右边只是一个kab，所以可以考虑一下类似于分离变量的方法把a或b挪到左边去．本答案用的是把a挪到左边的方法．把b挪到左边也有类似的做法，但是会变得比较复杂，有兴趣的同学不妨一试．
该题做法非常多，本篇答案给出的做法只是一种以高中课本知识即可解决的方法，但是如果不想用到函数求导这种比较偏流氓的方法的话，纯粹不等式的方法也是可行的．比如，
22bb??abab??bb??(a?b)(ab?1)(b?1)??a??????1????1?
22??22???22??bb??abab??bb??3?a????3???1??3???1? ?22??22??22??272ab 41/31/31/32．如图．记G为CF，DE的交点，?ALM和?BKN的外接圆圆心为OA，OB．取两圆切线上任意一点为H1，切线另一边的任意一点为H2，连接CD．LN，AB，MK，EF，OAOB，
由于?DCA??DBA??FBA??FEA?180?，我们有?DCA??FEA?180?，即CD//EF．另外，由圆幂定理我们有?GLN~?GEF，于是我们有?GLN??GDC??GEF??GKM，?GKM~?GDC，即LN//MK．
另一方面，那么因为CD//EF，我们有
?LGM??CDG??EFG?180???CAM?180???EAL?180???LAM，即G在eOA上．同理G在eOB上．由于eOA与eOB相切，我们知道G在OAOB上．
那这个时候G在LK，MN，OAOB上，我们知道?GKN??NGH1??MGH2??GLM，故
LM//KN．由于LM//KN，我们知道LMKN是一个平行四边形，那么?LGM??KGN，那么两个三
角形的外接圆半径相等，?ALM和?BKN的外接圆半径相等．
评析2．熟悉平面几何的同学应该很快就可以凭经验知道CD//EF，LN//MK，且G在这两个外接圆上．余下的部分，观察题图可以猜测LM//NK，如果有这一条的话我们很容易推出两个外接圆的半径相等，剩下就是一些比较角度的工作．总体来说本题偏简单题． 3．一定存在无穷多个这样的k，使得f?k??1．
若不然，假设只有有限多个k使得f?k??1，我们分两种情况讨论．
若这样的k不止一个，那我们可以取到最大的一个，还是记为k，那么对任意n?k，我们有f?n??1．对任意一个素数p，由于pk?k，我们有f?pk??1．但是由于f?pk?整除
max{f(k),p}?max{1,p}?p．我们知道f?pk??p．对任意两个素数p，不妨p?q，那么f?pqk?q，
整除max{f(pk),q}?maxp,q}?q．
那么我们现在亏虑三个素数p，q，r满足p?q?r，但是pq?r（比如，p?2，q?3，r?5）．那么一方面，f?pqrk?整除max{f(rk),pq}?max{r,pq}?pq．另一方面，f?pqrk?整除
max{f(pqk),r}?max{q,r}?r．但是(pq,r)?1，所以f(pqrk)|1即f(pqrk)?1．但是pqrk?k，矛
盾．所以一定存在无穷多个k，使得f?k??1．
评析3．欧几里德证明素数无限的方法是数论里面很典范的一种证明方式，在证明某一类数字有无限多个的时候，通过反证假设这一类数字只有有限个，不妨设为k1?k2?L?kn，套路上我们可以考虑kn，kn?1，
k1k2Lkn，k1k2Lkn?1．?k1,k2,L,kn?等数字来找到矛盾，本题也是如此．
值得一说的是，在这个题目中，对于任何整数n，我们可以定义一个新的函数fn(a)?f(an)，那么
fn(ab)?f(abn)要整除max{f(an),b}?max?fn(a),b?．也就是说fn也是一个满足相同性质的函数．那
么实际上，我们可以证明对任意一个k满足f?k??1．那么{mk}m?1中有无限多个m满足f?mk??1．更
?复杂的话，有兴趣的同学可以自行尝试推导一下这个f?k??1的解的密度． 4．首先显然，一个9?2的格子里面放置两面旌旗一共有两种方法，如下图：
或
9那么9?18的格子中可以放入9个9?2的格子，所以每个9?2的格子里有两种可能，一共2?512种放法．下面证明没有别的放法．
首先我们考察9?18的侧边，即变成为9这条边．若我们用18面旌旗把这些格子填满了，那么我们考察这条边上放的旌旗．旌旗的几条边长为5，4，2，1．若旌旗边长为1的边靠着底边，那么1的左右某一边的格子只能用另一面旌旗的边长为5的边来填，如图：
那么这条边上剩下三个格子，无法用2和1来填满（因为1需要伴随5）．
若旌旗边长为2的边靠着底边，那么这时侧边只能是9?5?2?2用三条旌旗来覆盖，这个时候两条旌旗横着用边长为2的底边来接触侧边．同时第二列只有一个空着的格子，若要填住这个格子只能用一条旌旗的旗头来填，所以只能是如图的填法：
2024年第十六届中国东南地区数学奥林匹克高一年级试题答案及评析
