第一章 1.2 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定

由天下分享时间：2025/1/6 16:56:14 加入收藏我要投稿点赞

1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定

课标要求 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定. 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 素养要求通过全称量词命题与存在量词命题的否定的学习，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.

教材知识探究

一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸.”

问题请问探险家该如何保命？

提示探险家应该说“我将被五马分尸”.

如果土人首领将探险家五马分尸，那就说明探险家说的就是真话，而说真话应该被烧死；

如果土人首领将探险家烧死，那就说明探险家说的就是假话，而说假话应该被五马分尸.

所以，土人首领怎么处置探险家都不行，只能让他活着.

1.命题的否定

(1)定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“綈p”，读作“非p”或“p的否定”. (2)命题p与其否定綈p的真假关系

如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然. 2.全称量词命题与存在量词命题的否定改量词，否定结论 (1)全称量词命题的否定

一般地，全称量词命题“?x∈M，q(x)”的否定是存在量词命题?x∈M，綈q(x). (2)存在量词命题的否定

一般地，存在量词命题“?x∈M，p(x)”的否定是全称量词命题?x∈M，綈p(x).,

教材拓展补遗

[微判断]

1.命题“?x∈R，x2－1≥－1”的否定是全称量词命题.(×) 提示应该是存在量词命题.

2.若命题綈p是全称量词命题，则命题p是存在量词命题.(√) [微训练]

1.命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是________. 解析存在量词命题的否定是全称量词命题. 答案对任意的x∈R，2x>0

2.已知命题p：?x>2，x－2>0，则綈p是________. 解析全称量词命题的否定为存在量词命题. 答案 ?x>2，x－2≤0 [微思考]

1.用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？

提示不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”. 2.对省略量词的命题怎样否定？

提示对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题.一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题.

题型一全称量词命题的否定

【例1】写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)任何一个圆都是轴对称图形； (3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0.

解 (1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.

(2)其否定为：存在一个圆不是轴对称图形.

(3)其否定为：?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在. (4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0.

规律方法全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的命题可补上全称量词后进行否定.

【训练1】写出下列全称量词命题的否定： (1)p：每一个四边形的四个顶点共圆； (2)q：所有自然数的平方都是正数； (3)s：任何实数x都是方程5x－12＝0的根； (4)r：对任意实数x，x2＋1≥0.

解 (1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (2)綈q：有些自然数的平方不是正数. (3)綈s：存在实数x不是方程5x－12＝0的根. (4)綈r：存在实数x，使得x2＋1<0. 题型二存在量词命题的否定

【例2】写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)p：?x>1，使x2－2x－3＝0； (2)q：有些素数是奇数； (3)r：有些平行四边形不是矩形. 解 (1)綈p：?x>1，x2－2x－3≠0.(假). (2)綈q：所有的素数都不是奇数.(假). (3)綈r：所有的平行四边形都是矩形.(假).

规律方法存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词，即p：?x∈M，p(x)成立?綈p：?x∈M，綈p(x)成立. 【训练2】写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)?x，y∈Z，使得2x＋y＝3.

解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.

(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.它为假命题.

(3)命题的否定是“?x，y∈Z，2x＋y≠3”.当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.

题型三根据全称量词命题、存在量词命题的否定的真假求参数

【例3】已知命题p：?x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围. 可转化为二次函数的图像与x轴的交点个数问题

解因为綈p为假命题，所以命题p：?x∈R，m＋x2－2x＋5>0为真命题，即二次函数y＝x2－2x＋m＋5的图像恒在x轴上方，所以Δ＝(－2)2－4(m＋5)<0，即m>－4，故实数m的取值范围为{m|m>－4}.

规律方法 1.注意p与綈p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化. 2.对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题，如本题分离参数后，转化成了求二次函数的最值问题.

【训练3】已知命题p：?x∈R，m－x2＋2x－5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围.

解因为綈p为假命题，所以命题p：?x∈R，m－x2＋2x－5>0为真命题，即二次函数y＝－x2＋2x＋m－5的图像的最高点在x轴上方，即图像与x轴有两个交点，所以Δ＝22＋4(m－5)>0，即m>4，故实数m的取值范围为{m|m>4}.

一、素养落地

1.通过学习全称量词命题、存在量词命题的否定的概念，提升数学抽象素养，通过存在量词命题、全称量词命题否定的综合应用培养逻辑推理素养. 2.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题： (1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题.

(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.