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9、等腰三角形
【知识精读】
（－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论
定理：等腰三角形有两边相等；
定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用
等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线
等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问
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题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
【分类解析】
例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。
B A D
分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝＝∠E，从而问题得证。
证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点 所以∠1＝
1 M C E 11∠ABC，而由CE＝CD，又可证∠E＝∠ACB，所以∠1221∠ABC 2 又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E 所以∠ACB＝2∠E 即∠1＝∠E
所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M
所以M是BE的中点 （等腰三角形三线合一定理）
例2. 如图，已知：?ABC中，AB?AC，D是BC上一点，且AD?DB，DC?CA，求?BAC的度数。
B A D C
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分析：题中所要求的?BAC在?ABC中，但仅靠AB?AC是无法求出来的。因此需要考虑AD?DB和DC?CA在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。 解：因为AB?AC，所以?B??C 因为AD?DB，所以?B??DAB??C；
因为CA?CD，所以?CAD??CDA（等边对等角） 而 ?ADC??B??DAB 所以?ADC?2?B，?DAC?2?B 所以?BAC?3?B
又因为?B??C??BAC?180
即?B??C?3?B?180 所以?B?36 即求得?BAC?108
说明1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。
2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。
3. 此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。 例3. 已知：如图，?ABC中，AB?AC，CD?AB于D。求证：?BAC?2?DCB。
D B A 1 2 ???? 3 E C
分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，?BAC是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与?DCB的关系。 证明：过点A作AE?BC于E，?AB?AC 所以?1??2?1?BAC（等腰三角形的三线合一性质） 2? 因为?1??B?90
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培优专题13_等腰三角形(含答案)
