[文件] sxjsck0009 .doc [科目] 数学
[关键词] 初一/代数式/整式/分式
[标题] 代数式的变形（整式与分式） [内容]
代数式的变形（整式与分式）
在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍. 1． 配方
在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题.
例1 （1986年全国初中竞赛题）设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也
可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.
解mn=(a2+b2)(c2+d2)
=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd =(ac+bd)2+(ad-bc)2 =(ac-bd)2+(ad+bc)2,
所以，mn的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2.
例2（1984年重庆初中竞赛题）设x、y、z为实数，且 (y-z)2+(x-y)2+(z-x)2
=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2. 求
(yz?1)(zx?1)(xy?1)的值.
(x2?1)(y2?1)(z2?1)解 将条件化简成
2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0 ∴(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0 ∴x=y=z,∴原式=1. 2.因式分解
前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子. 例3(1987年北京初二数学竞赛题)如果a是x2-3x+1=0的根,试求
2a5?5a4?2a3?8a2的值. 2a?1解 ∵a为x2-3x+1=0的根, ∴ a2-3a+1=0,,且
3a=1. 2a?1(a2?3a?1)(2a3?a2?3a)?3a?2a?1原式
3a??2??1.a?1说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算. 3.换元
31
换元使复杂的问题变得简洁明了. 例4 设a+b+c=3m,求证:
(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0. 证明 令p=m-a,q=m-b,r=m-c则 p+q+r=0.
P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0 ∴p3+q3+r3-3pqr=0
即 (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0 56789012345678901235例5 (民主德国竞赛试题) 若A?6789012345,B?6789012347,试比较A、B的大小. 解 设 A?xB?x?1,
y,则
y?2xx?1x(y?2)?y(x?1)2x?yy?y?2?y(y?2)?y(y?2). ∵2x＞y ∴2x-y＞0, 又y＞0, 可知
xy?x?1y?2?0. ∴A＞B. 4.设参
当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.
例6 若
xa?b?yb?c?zc?a,求x+y+z的值. 解 令xyza?b?b?c?c?a?k,
则有 x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k, ∴x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.
例7 已知a、b、c为非负实数，且a2+b2+c2=1,
a??1?b?1?c???b??1?c?1?a???c??1?a?1?b????3,求a+b+c的值. 解 设 a+b+c=k
则a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b. 由条件知a??b?c??bc???b??a?c??ac??a?b???c??ab????3, 即
ak?a2bc?bk?b2ac?ck?c2ab??3. ∴a2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc,
∴(a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3. ∵a2+b2+c2=1, ∴k=a3+b3+c3-3abc
32
=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc
=(a+b+c)[(a+b)2+c2-(a+b)c]-3ab(a+b+c), =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca), ∴k=k(a2+b2+c2-ab-bc-ac), ∴k(a2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0, ∴k(-ab-bc-ac)=0.
若K=0, 就是a+b+c=0. 若-ab-bc-ac=0,
即 (a+b+c)2-(a2+b2+c2)=0, ∴(a+b+c)2=1, ∴a+b+c=±1
综上知a+b+c=0或a+b+c=±1 5.“拆”、“并”和通分
下面重点介绍分式的变形：
（1） 分离分式 为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式
和一个分式的代数和. 例8（第1届国际数学竞赛试题）证明对于任意自然数n，分数
21n?4皆不可约.,
14n?3证明 如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约.
?21n?47n?114n?31?1?,而 ?2?,
14n?314n?37n?17n?1114n?321n?4显然不可通约，故不可通约，从而也不可通约.
7n?17n?114n?3（2） 表示成部分分式 将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和.
例9 设n为正整数，求证：
1111????? 1?33?5(2n?1)(2n?1)2证明 令
1AB??
(2k?1)(2k?1)2k?12k?1通分，
AB2(A?B)k?(A?B)??, 2k?12k?1(2k?1)(2k?1)①
②
比较①、②两式，得A-B=0，且A+B=1，即A=B=
1. 2∴
1111?(?),
(2k?1)(2k?1)22k?12k?1111???? 1?33?5(2n?1)(2n?1)令k=1,2,…,n得
33
1??1??11?1???1???1?????????????2??3??35?2n?12n?1????1?1?1?1???.2?2n?1?2
(3)通分 通分是分式中最基本的变形,例9的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子.
例10(1986年冬令营赛前训练题) 已知
abc???0. 222bc?aac?bab?cabc???0.
(bc?a2)2(ac?b2)2(ab?c2)2求证:
abc??bc?a2ac?b2ab?c2证明 2222?ab?bc?ac?bc?.22(ac?b)(ab?c)a?ab2?bc2?ac2?b2c??.22222(bc?a)(bc?a)(ac?b)(ab?c)b?ab2?ac2?bc2?a2c同理?.(ac?b2)2(ac?b2)(bc?a2)(ab?c2)c?a2c?ab2?b2c?a2c?.22222(ab?c)(bc?a)(ac?b)(ab?c)abc???(bc?a2)2(ac?b2)2(ab?c2)2?ab2?bc2?ac2?b2c?a2b?ac2?bc2?a2c?a2c?ab2?b2c?a2b?(bc?a2)(ac?b2)(ab?c2)?0.6.其他变形
例11 (1985年全国初中竞赛题)已知x(x≠0，±1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算（可用括号），经过六步算出x2.那么计算的表达式是______. 解 x2=x(x+1)-x
?11?x??x. 111?x(x?1)xx?1或 x2=x(x-1)+x
?11?x??x. 111?x(x?1)x?1x 34
例12 （第3届美国中学生数学竞赛题）设a、b、c、d都是正整数，且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b.
解 由质因数分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可设a=x4,c=y2,故 19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2)
2??y?x?1, 解得 x=3. y=10. ∴ d-b=y3-x5=757 ??2??y?x?19. 练 习 七 1选择题
（1）（第34届美国数学竞赛题）把x,x?5123,1??2相乘，其乘积是一个多项式，该多xxx项式的次数是（ ）
（A）2 （B）3 （C）6 （D）7 （E）8 （3） 已知
111ba??,则?的值是（ ）. aba?bab(A)1 (B)0 (C)-1 (D)3
（3）（第37届美国中学数学竞赛题）假定x和y是正数并且成反比，若x增加了p%，则y减少了（ ）. （A）p% (B)
pp100p100% (C)% (D)% (E)% 1?p100?p100?pP2填空题
（1）（x-3）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+b+c+d+e+f=________, b+c+d+e=_______. (2)若
112x?3xy?2y??3,则=_____. xyx?2yx?y222,y3?,?,y1986?,则y1y1986=______ y1y2y1985(3)已知y1=2x,y2=
3若（x-z）2-4(x-y)(y-z)=0,试求x+z与y的关系. 4（1985年宁夏初中数学竞赛题）把个式子.
abab?写成两个因式的积,使它们的和为?，求这两babax2?3y2?5z25.若x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求的值. 2222x?4y?7z6.已知x,y,z为互不相等的三个数,求证
22?1??1??1??111????????????y?z??z?x??x?y??y?zz?xx?y??.
????????7已知a2+c2=2b2,求证
2112??. b?ca?bc?a8.设有多项式f(x)=4x4-4px3+4qx2+2q(m+1)x+(m+1)2,求证:
如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一个二次三项式的平方.
35
9.设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求证:ac=bd.
练习七 1.C.C.E
2.(1)-32,210 (2)35 (3)2 3.略.
aba?ba?ba?ba?bb4.
b?a?a?b,而a?b?a?ab. ?两个因式为a?ba,a?bb.5.811 6.略, 7.略. 8.∵p2-4q-4(m+1)=0, ∴4q=p2-4(m+1)=0, ∴f(x)
=4x4-4px3+[p2-4(m+1)]x2+2p·(m+1)x+(m+1)2 =4x4+p2x2+(m+1)2-4px3-4(m+1)x2+2p(m+1)x =[2x2-px-(m+1)]2.
9.令a+b=p,c+d=q,由条件化为 pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),
展开整理得cdp2-(ac+bd)+pq+abq2=0, 即(cp-bq)(dp-aq)=0.
于是cp=bq或dp=aq,即c(a+b)=b(c+a)或d(a+b)=a(c+d). 均可得出ac=bd.
36
初一 代数式的变形 整式与分式
