湖北省荆门市2020高三元月调考试题
数学（理）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。 1．已知集合A?{x|lgx?0}，B?{x|3x?1}，则
A.AB?{x|x?0} B．AB?R C.AB?{x|x?1} D．AB?? 2．设i是虚数单位，则1?i?2等于 iA．0 B．2 C．2 D．4 3．下列各式中错误的是 ．．
A．0.83?0.73 B. lg1.6?lg1.4 C. log0.50.4?log0.50.6 D. 0.75?0.1?0.750.1
x2y24．设双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的右焦点与抛物线y2?8x的焦点相同，双曲线C的一条渐近线方
ab程为3x?y?0，则双曲线C的方程为
x2y2x2y2x2y222A． B．x??y?1 ?1 C．??1 D．??1
334121245．已知函数f?x??Asin??x???（A?0，??0，??的部分图象如图所示，则????
π） 2
A．
πππ2 B． C． D．π 64336．已知tan??1??4,则sin2(??)?
4tan?3111A． B． C． D．
54247．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医
到气功、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为
???x2?y2?4???22???????x,y?x2??y?1??1或?x2??y?1??1?，设点(x,y)?A，则z?2x?y的取值范围是
??x?0???????
???????A．???1?5,25? B．??25,25? C．??25,1?5? D．??4,1?5?
8．某班元旦晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 A．36种
B．42种
C．48种
D．54种
9．灯会，是中国一种古老的民俗文化，一般指春节前后至元宵节时，由官方举办的大型的灯饰展览活动，并常常附带有一些猜灯谜等活动，极具传统性和地方特色。春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来猜灯谜，每人均获得一次机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：
甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’； 丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．
游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的， 则中奖的同学是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．函数f(x)?elnx?1的大致图象为 x
11．已知二面角??l??为60,动点P、Q分别在、内，P到的距离为3,Q到的距离为
03, 则2PQ两点之间距离的最小值为
A.3 B．1 C．2 D．2 12．设函数f?x??sin??x???，A???x,f?x??00??x2y2??f??x0??0，B???x,y???1?，若存在实数?，
322?????使得集合AB中恰好有7个元素，则????0?的取值范围是
?3??5??3? B．?π,π? C．?π,π? D．?π,π?
?4??4??2??35?A．?π,π?
?44?二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取5名学生进行调查，若一班有50名学生，将每一学
生编号从01到50，请从随机数表的第1行第5、6列（下表为随机数表的前2行）开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为▲ .
14．已知向量a,b满足a?3,b?(3,3)且a?2ax?1,e15．对任意x????,不等式e7816 3204 6514 9234 0802 4935 6314 8200 0702 3623 4369 4869 9728 6938 0198 7481 ?a?b??0，则a,b的夹角为▲ . . ?x2恒成立（其中e是自然对数的底数），则实数a的取值范围是▲
16. 已知三棱锥P-ABC外接球的表面积为100?，PA?平面ABC，PA?8,?BAC?600,则三棱锥体积的最大值为▲ .
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分12分）已知在等比数列?an?中，a1?2，且a1，a2，a3?2成等差数列．
（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）若数列?bn?满足：bn?
1?2log2an，求数列?bn?的前n项和Sn． an
18.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥A?BCDE中，平面BCDE?平面ABC，
BE?EC,BC?3,AB?23,?ABC?30?.
（Ⅰ）求证：AC?BE；
（Ⅱ）若二面角B?AC?E为45?，求直线AB与平面ACE
所成的角的正弦值．
19.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，制作了频率分布直方图，
（Ⅰ）用该样本估计总体：
（1）估计该市居民月均用水量的平均数；
（2）如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a的最低标准定为多少吨？ （Ⅱ）若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量，其中月均用水量．．．．．．
不超过2.5吨的人数为X，求X的分布列和均值.
x2y220.（本小题满分12分）已知椭圆E:2?2?1?a?b?0?的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭
ab圆E的长轴为直径的圆与直线x?y?2?0相切． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
,B,C为椭圆E上不同的三点，O为坐标原点，若O（Ⅱ）A，试问：ABC的面积A?OB?OC?0是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
221.（本小题满分12分）已知函数f?x??xlnx?ax?a?R?在定义域内有两个不同的极值点.
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
?（Ⅱ）若f?x?有两个不同的极值点x1,x2，且x1?x2，若不等式x1?x2?1恒成立，求正实数?的取
值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
?x?1?cos?在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为:?（?为参数），以坐标原点为极点，x轴
y?sin??正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为:??π???R?． 4（Ⅰ）求直线l与曲线C1公共点的极坐标；
（Ⅱ）设过点P?0,?1?的直线m交曲线C1于A，B两点，求PA?PB的值．
湖北省荆门市2020高三元月调考试题 数学(理) 含答案
