§2 等差数列
2.1 等差数列
第1课时 等差数列的概念及其通项公式
学 习 目 标 1.理解等差数列的概念.(难点) 2.掌握等差数列的判定方法.(重点) 3.会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项.(重点、难点) 核 心 素 养 1.通过等差数列概念的学习培养学生的数学抽象素养. 2.借助于等差数列的通项公式提升学生的数学运算素养.
1.等差数列的概念
阅读教材P10~P11例1以上部分,完成下列问题. 文字语言 符号语言 从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这样的数列就叫作等差数列.这个常数称为等差数列的公差,通常用字母d表示 若an-an-1=d(n≥2),则数列{an}为等差数列 思考:(1)数列{an}的各项为:n,2n,3n,4n,…,数列{an}是等差数列吗?
[提示] 不是,该数每一项与其前一项的差都是n,不是常数,所以不是等差数列. (2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数,这个数列一定是等差数列吗?
[提示] 不一定,当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时,这个数列才是等差数列.
如数列:1,2,3,5,7,9,就不是等差数列. 2.等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式为an=a1+(n-1)d. 思考:(1)若已知等差数列{an}的首项a1和第二项a2,可以求其通项公式吗? [提示] 可以,可利用a2-a1=d求出d,即可求出通项公式. (2)等差数列的通项公式一定是n的一次函数吗?
- 1 -
[提示] 不一定,当公差为0时,等差数列的通项公式不是n的一次函数,而是常数函数. 3.等差数列通项公式的推导
如果等差数列{an}的首项是a1,公差是d,根据等差数列的定义得到a2-a1=d,a3-a2
=d,a4-a3=d,…
所以a2=a1+d,
a3=a2+d=a1+d+d=a1+2d, a4=a3+d=a1+2d+d=a1+3d, ……
由此归纳出等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d.
1.等差数列{an}中a1=2,公差d=3,则an=( ) A.2n+1 C.2n-1
B.3n+1 D.3n-1
D [an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1.]
2.在等差数列{an}中,a1=0,a3=4,则公差d=( ) A.4 C.-4
B [a3-a1=4-0=2d,故d=2.]
315
3.等差数列,-,-,…的第10项为( )
22237
A.-
237C.
2
313
B [由a1=,d=--=-2,得
22237
an=+(n-1)(-2)=-2n+.
22733所以a10=-2×10+=-.]
22
1
4.已知等差数列{an}中,d=-,a7=8,则a1=_________.
31
10 [由a7=a1+6d=8且d=-代入解得a1=8-6d=8+2=10.]
3
33B.-
233D.
2B.2 D.-2
- 2 -
等差数列的判定 【例1】 判断下列数列是否为等差数列: (1)an=3-2n;(2)an=n2-n.
[解] (1)因为an+1-an=[3-2(n+1)]-(3-2n)=-2,是常数,所以数列{an}是等差数列. (2)因为an+1-an=[(n+1)2-(n+1)]-(n2-n)=2n,不是常数,所以数列{an}不是等差数列.
等差数列的判断方法——定义法
等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据,要证明一个数列是等差数列,可用an+1-an=d?常数?或an-an-1=d?d为常数且n≥2?.但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一个反例即可.
[跟进训练]
an?1?1.若数列{an}满足an+1=,a1=1,求证:数列?a?是等差数列.
?n?2an+12an+1an11
[证明] 由an+1=得==2+,
anan2an+1an+1即
等差数列的通项公式及应用 【例2】 (1)求等差数列8,5,2,…的第20项; (2)在等差数列{an}中,已知a6=12,a18=36,求通项公式an. [解] (1)由a1=8,a2=5,得d=a2-a1=5-8=-3, 故an=8-3(n-1)=11-3n, 则a20=11-3×20=-49.
1?1?
-=2,所以数列?a?是首项为1,公差为2的等差数列.
?n?an+1an1
??a1+5d=12,
(2)由题意可得?
?a1+17d=36,?
解得d=2,a1=2,
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