2024_2024学年高中数学第1章数列2.1第1课时等差数列的概念及其通项公式

§2 等差数列

2．1 等差数列

第1课时 等差数列的概念及其通项公式

学 习 目 标 1．理解等差数列的概念．(难点) 2．掌握等差数列的判定方法．(重点) 3．会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项．(重点、难点) 核 心 素 养 1．通过等差数列概念的学习培养学生的数学抽象素养． 2．借助于等差数列的通项公式提升学生的数学运算素养．

1．等差数列的概念

阅读教材P10～P11例1以上部分，完成下列问题． 文字语言 符号语言 从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这样的数列就叫作等差数列．这个常数称为等差数列的公差，通常用字母d表示 若an－an－1＝d(n≥2)，则数列{an}为等差数列 思考：(1)数列{an}的各项为：n,2n,3n,4n，…，数列{an}是等差数列吗？

[提示] 不是，该数每一项与其前一项的差都是n，不是常数，所以不是等差数列． (2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数，这个数列一定是等差数列吗？

[提示] 不一定，当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时，这个数列才是等差数列．

如数列：1,2,3,5,7,9，就不是等差数列． 2．等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 思考：(1)若已知等差数列{an}的首项a1和第二项a2，可以求其通项公式吗？ [提示] 可以，可利用a2－a1＝d求出d，即可求出通项公式． (2)等差数列的通项公式一定是n的一次函数吗？

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[提示] 不一定，当公差为0时，等差数列的通项公式不是n的一次函数，而是常数函数． 3．等差数列通项公式的推导

如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，根据等差数列的定义得到a2－a1＝d，a3－a2

＝d，a4－a3＝d，…

所以a2＝a1＋d，

a3＝a2＋d＝a1＋d＋d＝a1＋2d， a4＝a3＋d＝a1＋2d＋d＝a1＋3d， ……

由此归纳出等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．

1．等差数列{an}中a1＝2，公差d＝3，则an＝( ) A．2n＋1 C．2n－1

B．3n＋1 D．3n－1

D [an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1．]

2．在等差数列{an}中，a1＝0，a3＝4，则公差d＝( ) A．4 C．－4

B [a3－a1＝4－0＝2d，故d＝2．]

315

3．等差数列，－，－，…的第10项为( )

22237

A．－

237C．

2

313

B [由a1＝，d＝－－＝－2，得

22237

an＝＋(n－1)(－2)＝－2n＋．

22733所以a10＝－2×10＋＝－．]

22

1

4．已知等差数列{an}中，d＝－，a7＝8，则a1＝_________．

31

10 [由a7＝a1＋6d＝8且d＝－代入解得a1＝8－6d＝8＋2＝10．]

3

33B．－

233D．

2B．2 D．－2

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等差数列的判定 【例1】 判断下列数列是否为等差数列： (1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n．

[解] (1)因为an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数，所以数列{an}是等差数列． (2)因为an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数，所以数列{an}不是等差数列．

等差数列的判断方法——定义法

等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据，要证明一个数列是等差数列，可用an＋1－an＝d?常数?或an－an－1＝d?d为常数且n≥2?.但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.

[跟进训练]

an?1?1．若数列{an}满足an＋1＝，a1＝1，求证：数列?a?是等差数列．

?n?2an＋12an＋1an11

[证明] 由an＋1＝得＝＝2＋，

anan2an＋1an＋1即

等差数列的通项公式及应用 【例2】 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项； (2)在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an． [解] (1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3， 故an＝8－3(n－1)＝11－3n， 则a20＝11－3×20＝－49．

1?1?

－＝2，所以数列?a?是首项为1，公差为2的等差数列．

?n?an＋1an1

??a1＋5d＝12，

(2)由题意可得?

?a1＋17d＝36，?

解得d＝2，a1＝2，

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