课后作业(五十一) 抛物线
一、选择题
x2y2
1．若抛物线y＝2px的焦点与椭圆6＋2＝1的右焦点重合，则p的值为( )
2
A．－2 B．2 C．－4 D．4
2．(2019·中山调研)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
3
A.4
B．1
5
C.4
7D.4 3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝( )
A．43
B．8
C．83
D．16
4．(2019·全国课标卷)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝43，则C的实轴长为( )
A.2
B．22
C．4
D．8
5．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 二、填空题
6．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．
7．(2019·北京高考)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点．其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角
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为60°，则△OAF的面积为________．
8．(2019·陕西高考)如图8－7－2所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m.
图8－7－2
三、解答题
图8－7－3
9．如图8－7－3所示，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A. (1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
10．(2019·韶关质检)已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程．
→＝OA→＋λOB→，求λ的值． (2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC
图8－7－4
11．(2019·汕尾模拟)如图8－7－4所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
解析及答案
一、选择题 1．
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x2y2
【解析】 因为椭圆6＋2＝1的右焦点为(2，0)， 所以抛物线y2＝2px的焦点为(2，0)，则p＝4. 【答案】 D 2．
15
【解析】 ∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋2＝3，∴xA＋xB＝2. xA＋xB5
∴线段AB的中点到y轴的距离为2＝4. 【答案】 C 3．
【解析】 由题意，直线l的方程为x＝－2，焦点F为(2，0)， n－0
设A点的坐标为(－2，n)，则＝－3，解得n＝43，
－2－2又PA⊥l，由(43)2＝8x，得x＝6. p
∴|PF|＝x＋2＝8. 【答案】 B 4．
x2y2
【解析】 设C：a2－a2＝1. ∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4， x2y2
联立2－2＝1和x＝－4
aa
得A(－4，16－a2)，B(－4，－16－a2)， ∴|AB|＝216－a2＝43，∴a＝2，∴2a＝4. ∴C的实轴长为4. 【答案】 C
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5．
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且两点在抛物线上，
2??y1＝2px1， ①∴?2 y＝2px， ②22??
①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)， 又线段AB的中点的纵坐标为2，∴y1＋y2＝4， 又直线的斜率为1，∴
y1－y2
＝1，∴2p＝4，p＝2， x1－x2
p
∴抛物线的准线方程为x＝－2＝－1. 【答案】 B 二、填空题
6．【解析】 由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离．
故点P的轨迹是以点(0，3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6， 所以其标准方程为x2＝12y. 【答案】 x2＝12y
7．【解析】 ∵y2＝4x的焦点为F(1，0)，又直线l过焦点F且倾斜角为60°， 故直线l的方程为y＝3(x－1)，将其代入y2＝4x 1
得3x2－10x＋3＝0.∴x＝或x＝3.
3又点A在x轴上方，∴xA＝3.∴yA＝23. 1
∴S△OAF＝2×1×23＝3. 【答案】
3 8．
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【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py，
得p＝1. ∴x2＝－2y.
当水面下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，
2
将其坐标代入x2＝－2y得x0＝6，
∴x0＝6.∴水面宽|CD|＝26 m. 【答案】 26 三、解答题 9．
??y＝x＋b，【解】 (1)由?2得x2－4x－4b＝0.(*)
??x＝4y，因为直线l与抛物线C相切， 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0， 解得b＝－1.
(2)由(1)可知b＝－1，
故方程(*)为x2－4x＋4＝0，解得x＝2. 将其代入x2＝4y，得y＝1.故点A(2，1)． 因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，
所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4. 10．
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高考数学(文)一轮总复习(人教新课标·广东专用)课后作业：第八章 第七节 抛物线
