第三讲 柯西不等式与排序不等式
3.3 排序不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．设a≥b＞0，P＝a＋b，Q＝ab＋ab，则P与Q的大小关系是( ) A．P＞Q C．P＜Q
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B．P≥Q D．P≤Q
解析：因为a≥b＞0，所以a≥b＞0. 因此a＋b≥ab＋ab(排序不等式)， 则P≥Q. 答案：B
2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合理安排损失最少为( )
A．420 元 C．450 元
B．400 元 D．570 元
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解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小． 答案：A
3．若A＝x1＋x2＋…＋xn，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为( )
A．A＞B C．A≥B
B．A＜B D．A≤B
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解析：依序列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为序列{xn}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x1＋x2＋…＋xn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.
答案：C
4．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则A．3 C．9
B．6 D．12
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a1a1′
＋＋的最小值为( )
a2′a3′
a2a3
111
解析：设a1≥a2≥a3＞0，则≥≥＞0，
a3a2a1
由乱序和不小于反序和，知
- 1 -
＋＋≥＋＋＝3， a1′a2′a3′a1a2a3所以
＋＋的最小值为3. a1′a2′a3′
a1a2a3a1a2a3
a1a2a3
答案：A
5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a(a－bc)＋b(b－ac)＋c(c－ab)的正负情况是( ) A．大于零 C．小于零
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B．大于等于零 D．小于等于零
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解析：设a≥b≥c＞0，所以a≥b≥c，
根据排序原理，得a·a＋b·b＋c·c≥ab＋bc＋ca. 又知ab≥ac≥bc，a≥b≥c， 所以ab＋bc＋ca≥abc＋bca＋cab. 所以a＋b＋c≥abc＋bca＋cab， 即a(a－bc)＋b(b－ac)＋c(c－ab)≥0. 答案：B 二、填空题
6．设a1，a2，…，an为实数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，则乘积a1b1
＋a2b2＋…＋an bn不小于________．
答案：a1an＋a2an－1＋…＋ana1
7．设a，b，c为正数，P＝a＋b＋c，Q＝ab＋bc＋ca，则P与Q的大小关系是________． 解析：不妨设a≥b≥c＞0，则a≥b≥c＞0，由排序不等式得：aa＋bb＋cc≥ab＋bc＋ca.
所以P≥Q. 答案：P≥Q
8．设a，b，c＞0，则＋
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bccaab＋________a＋b＋c. abc解析：不妨设a≥b≥c＞0， 111
则≤≤，bc≤ac≤ab.
abc由顺序和≥乱序和，得
abacbc111
＋＋≥·bc＋·ac＋·ab＝c＋a＋b， cbabca当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 答案：≥ 三、解答题
- 1 -
9．设a1，a2，a3为正数，且a1＋a2＋a3＝1，求111
解：不妨设a3＞a1＞a2＞0，则＜＜，
a1a2a2a3a3a1
＋＋的最小值． a3a1a2
a3a1a2
所以a1a2＜a2a3＜a3a1. 设乱序和S＝顺序和S′＝
a1a3a1a2a3a2
＋＋＝a1＋a2＋a3＝1， a3a1a2a1a2a2a3a3a1
＋＋. a3a1a2
a1a2a2a3a3a1
＋＋≥a1＋a2＋a3＝1， a3a1a2
由排序不等式得所以
a1a2a2a3a3a1
＋＋的最小值为1. a3a1a2
10．设a，b，c大于0，求证： (1)a＋b≥ab(a＋b)； (2)
1111
＋3＋3≤. 333
a＋b＋abcb＋c＋abcc＋a＋abcabc33
3
证明：(1)不妨设a≥b＞0， 则a≥b＞0.
所以a＋b＝a·a＋b·b≥ab＋b·a， 所以a＋b≥ab(a＋b)．
(2)由(1)知，同理b＋c≥bc(b＋c)，c＋a≥ac(c＋a)． 所以
1
11111
＋3＋33≤＋＋33
a＋b＋abcb＋c＋abcc＋a＋abcab（a＋b）＋abcbc（b＋c）＋abc3
3
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?1＋1＋1?＝1·c＋a＋b＝1. ??ac（a＋c）＋abca＋b＋c?abbcca?a＋b＋cabcabc＝
1
故原不等式得证．
B级 能力提升
1．已知实数a≥b≥c≥0，且a＋b＋c＝3，则ab＋bc＋ca的最大值是( ) A．1 C．3
B．2 D.3
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解析：因为a≥b≥c≥0，知a≥b≥c， 由排序不等式，得
ab＋bc＋ca≤aa＋bb＋cc.
又(aa＋bb＋cc)≤[(aa)＋(bb)＋(cc)]·(1＋1＋1)＝3(a＋b＋c)＝9， 所以aa＋bb＋cc≤3.
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高中数学人教A版选修4-5习题：第三讲3.3排序不等式 Word版含答案
