第十章 质心运动定理 动量定理 习题解
[习题10-1] 船A、B的重量分别为2.4kN及1.3kN，两船原处于静止间距6m。设船B上有一人，重500N，用力拉动船A，使两船靠拢。若不计水的阻力，求当两船靠拢在一起时，船B移动的距离。
解：以船A、B及人组成的物体系统为质点 系。因为质点系在水平方向不受力。即：
设B船向左移动了S米， 则A船向右移动了6－S米。 由质点系的动量定理得：
[习题10-2] 电动机重P1，放置在光滑的水平面上，另有一匀质杆，长2L，重P2，一端与电动机机轴固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连一重P3的物体，设机轴的角速度为?（?为常量），开始时杆处于铅垂位置并且系统静止。试求电动机的水平运动。
解：以电动机、匀质杆和球构成的质点系为研究对象。其受力与运动分析如图所示。匀质杆作平面运动。
因为质点系在水平方向上不受力，所以 由动量定理得：
这就是电动机的水平运动方程。
[习题10-3] 浮动起重机起吊重P起重机重P2?200kN，杆长OA?8m，1?20kN的重物，开始时杆与铅垂位置成60角，忽略水的阻力，杆重不计，当起重杆OA转到与铅垂位置成
0300角时，求起重机的位移。
解：以重物和起重机构成的物体系统为质系。 因为质点系在水平方向不受力，所以Fx?0
xC＝const。即OA运动前后，质点系的质心保持不变。也就是质心守恒。
当OA杆转到与铅垂位置成30角时，质点系质心的横坐标为： 当OA杆转到与铅垂位置成30角时， 质点系质心的横坐标为：
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因为质心守恒，所以
xC1?xC2，即：
故，当起重杆OA转到与铅垂位置成30角时，起重机向左移动了0.2662米。
[习题10-4] 匀质圆盘绕偏心轴O以匀角速度?转动。重P的夹板借右端弹簧推压面顶在圆盘上，当圆盘转动时，夹板作住复运动。设圆盘重W，半径为r，偏心距为e，求任一瞬时作用于基础和别螺栓的动反力。
解：设机座的重量为G，则当偏心轮转动时， 质点系的受力如图所示。当停偏心轮静止时， 水平约束力不存在，此时的反力为静反力：
0FN?W?P?G；当偏心轮转动时，存在
动反力：Fx和Fy。质点系的受力与运动分 析如图所示。
当偏心轮转动时，偏心轮的动量为： 当偏心轮转动时，夹板的动量为： 因为夹板作平动，所以其质心的速度 等于夹板与偏心轮的切点的速度。切 点的运动方程为：
vx?0?e(??sin?t)?e?sin?t，即： vC2?esin?t，故：
当偏心轮转动时，机座的动量为： 质点系的动量为：
式中，FN?W?P?G，故：
d(W?P)e?sin?te?2(W?P)cos?tW?P2Fx?[]???ecos?t，即：
dtgggde?Wcos?te?2Wsin?tWFy??()?????2ecos?t，即
dtdtggg[习题10-5] 大直角锲块A重P，水平边长为a，放置在光滑水平面上；小锲块B重Q，
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水平边长为b（a?b），如图放置在A上，当小锲块B完全下滑至图中虚线位置时，求大锲块的位移。假设初始时系统静止。 解：建立如图所示的坐标系。由于质点系在 水平方向不受力，即Fx?0，所以：
vC|t?0?C1?0，故： xC?const，即质心守恒：
xC2?Pa?3Ps?3Qa?3Qs?Qb，故：
3(P?Q)s?(a?b)Q （A锲块各左移动的位移）
P?Q[习题10-6] 匀质杆AB长2l，其B端搁置于光滑水平面上，并与水平成?0角，当杆倒下时，求杆端A的轨迹方程。
解：由于AB杆在水平方向上不受力，所以其质心的x坐标守恒。 即：xCt?xC0?lcos?0
质心C沿x?lcos?0直线向下运动。 设任意时刻A的坐标为A(x,y)，则： 消去?得：
y(x?lcos?0)2?()2?l，为一椭圆。
20[习题10-7] 图示系统中，mA?4kg，mC?2kg，??30。设当A在斜面上作无初速地
向下滚过40cm时，斜面在光滑的水平面上移过20cm。求B的质量。 解：以A、B、C构成的质点系为研究对象， 其受力如图所示。因为水平方向不受力， 所以aCx?0，即：
vCx|t?0?C1?0，故：
dxC?const，即质心守恒： dt第 3 页
4a?120?803?xC2?4b?mB(b?c)?20mB3，由xC2?xC1得： 4?2?mB[习题10-8] 质量为m，半径为R的匀质半圆板，受力偶作用在铅垂面内绕O轴转动，转动的角速度为?，角速度为?。C点为半圆板的质心，当OC与水平线成任意角?时，求此瞬时轴O约束力（OC?4R）。 3?解： 在法向应用牛顿第二定理得：
4Rm?2Fy?Fxcot??mg?…………(1)
3?sin?质点系的动量： 在切向应用动量定理得：
Fy?Fxtan??mg?4Rm?…………(2)
3?cos?(2)?(1)得：
上式代入（2）得：
[习题10-9] 重2N的物体以5m/s的速度向右运动，受到按图示随时间变化的方向向左的力F作用。试求受此力作和后，物体速度变为多大。 解：v1?5m/s（向右）
t?[0,0.02]s6000t? （向左） F???6000(0.04?t)t?[0.02,0.04]s根据动量定理得：
上式在水平方向（x轴）的投影为：
vt??6.76(m/s) ，负号表示此时重物的速度方向左。
[习题10-10] 在物块A上作用一常力F，使其沿水平面移动，已知物块的质量为10kg，F与水平面的夹角??30。经过5秒钟，物块的速度从2m/s增至4m/s。已知摩擦因数
0f?0.15，试求F的大小。
解：物块A的受力如图所示。
根据动量定理得：
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上式在x轴上的投影为：
[习题10-11] 计算下列刚体在图示已知条件下的动量。 解：(a)图所示刚体的动量为：
?Pp?v0，方向与v0相同。
g(b)图所示刚体的动量为：
方向与垂直于OC，斜向下。
(c)图所示刚体的动量为： (d)图所示刚体的动量为：
[习题10-12] 计算下列系统在图示已知条件下的动量。 解：(a) 解：(b)
滑块A作复合运动。 动点：A
动系：固连于T字杆上的坐标系。 静系：固连于地面上的坐标系。 绝对速度：A相对于地面的速度。 相对速度：A相对于T形杆的速度。 牵连速度：T形杆中与A相重点
（牵连点）相对于地面的速度。
解：(c) 质心 运动方程 速度 动量 xA?0 A vAx?dxA?0 dtpAx?pAy?P2?0?0 gP22l?cos?t gyA?2lsin?t vAy?dyA?2l?cos?t dt第 5 页
《理论力学》第十章 质心运动定理 动量定理 习题6页word文档
