尺规作图的路径与原理
闽江学院附属中学 杜强
一、知识回顾 1.什么是尺规作图?
尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图 起源
起源于古希腊,最初由伊诺皮迪斯提出,并逐渐形成公约,最后总结在欧几里得的《几何原本》之中。 直尺
没有刻度,无限长,且只能使用直尺的固定一侧画直线、射线或线段,不可以用于度量长度。
描述：画直线、射线或线段。 例如:画射线OA 圆规
两脚可以开至无限宽,量取两点之间的距离,用于画圆弧, 描述：以某点为圆心,某长为半径作弧,与直线(射线、线段或弧)交于某点。例如:以点C为圆心,适当长为半径作弧,交AB于点D和E 2.课标要求
⑴能用尺规完成基本作图
①.作一条线段等于已知线段;②.作一个角等于已知角;③.作一个角的平分线;④.作一条线段的垂直平分线;⑤.过一点作已知直线的垂线。
⑵会利用基本作图作三角形
①已知三边、两边及其夹角、两角及夹边作三角形;②已知底边上的高线作等腰三角形;③已知一直角边和斜边作直角三角形。
⑶会利用基本作图完成
①过不在同一直线上的三点作圆;②作三角形的外接圆、内切圆；③作圆的内接正方形和正六边形。
⑷尺规作图要求
在尺规作图中,了解作图的道理,保留作图痕迹,不要求写出作法。 3. 基本作图
五个基本作图名称：①作一条线段等于已知线段;②作一个角等于已知角;③作一个角的平分线;④作一条线段的垂直平分线;⑤过一点作已知直线的垂线。
五个基本作图要求：在尺规作图中，了解作图的道理,熟悉作图的过程，保留作图痕迹，不要求写出作法。
五个基本作图的作法：
①作一条线段等于已知线段 （七年级上册第四章P126） 已知线段a. 求作线段AB,使AB=a 作法： (1)画射线AC
(2)在射线AC上截取AB=a(以点A为圆心,
线段a长为半径画弧,交射线AC于点B),则线段AB即为所求
②作一个角等于已知角 （八年级上册第十二章P36） 已知∠AOB. 求作∠AOB',使∠AOB′=∠AOB. 作法：
(1)以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D (2)画一条射线O’A’,以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C' (3)以点C'为圆心,CD长为半径画弧,与第2步中所画的弧相交于点D' (4)过点D'画射线O'B’,则∠A'O'B'=∠AOB
原理：△OCD≌△O'C'D'（sss）
③作一个角的平分线 (八年级上册第十二章P48) 已知∠AOB. 求作∠AOB的平分线 作法:
(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N； (2)分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点C；
(3)画射线OC,则射线OC即为
12所求
原理：△OMC≌△ONC（sss）
④作一条线段的垂直平分线 (八年级上册第十三章P63) 已知线段AB. 求作线段AB垂直平分线 作法:
(1)分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为径作弧,两弧相交于C,D两点
(2)作直线CD,则直线CD即为所求 原理：四边形ACBD是菱形
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注：它也是作直线的垂线和确定线段中点的重要依据
⑤过一点作已知直线的垂线 （八年级上册第十三章P62） I.已知直线AB和直线AB外一点C, 求作AB的垂线,使它经过点C
作法:
(1)任意取一点K,使点K和点C在AB的两旁; (2)以点C为圆心,CK长为半径作弧,交AB于点D和E
(3)分别以点D和点E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧相交于点F;
(4)作直线CF,则直线CF即为所求直线
12原理：线段DE的垂直平分线
∠.已知直线AB和直线AB上一点C, 求作AB的垂线,使它经过点C.
作法:
(1)以点C为圆心,适当长为半径作弧,交AB于点D和E
(2)分别以点D和点E为圆心,大于DE的长为半径在直线AB的同侧作弧,两弧相交于点F; (3)作直线CF,则直线CF即为所求直线
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尺规作图的路径与原理
