专题04 立体几何 大题肢解一
立体几何
（2020湖北武昌区高三元月调考）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1A?AB?AC?2，D，E，F分别为AB，BC，B1B的中点.
（1）证明：平面A1C1F?平面B1DE； （2）求二面角B?B1E?D的正弦值.
【肢解1】证明：平面A1C1F?平面B1DE； 【肢解2】求二面角B?B1E?D的正弦值.
【肢解1】证明：平面A1C1F?平面B1DE；
【解析】（1）因为AC?AB，DE//AC，所以DE?AB. 因为AA1?平面ABC，DE?平面ABC，所以AA1?DE. 因为AB?AA1?A，所以DE?平面AA1B1B. 因为A1F?平面AA1B1B，所以DE?A1F. 易证DB1?A1F，因为DB1?D1E?D， 所以A1F?平面B1DE. 因为A1F?平面A1C1F， 所以平面A1C1F?平面B1DE.
AC?AB，
【肢解2】求二面角B?B1E?D的正弦值.
【解析】方法一：过B作BH?B1D，垂足为H，过H作HG?B1E于G，连结BG，
则可证?BGH为二面角B?B1E?D的平面角. 在Rt?B1BD中，求得BH?25；在Rt?B1BE中，求得BG?226.
所以sin?BGH?BH15. ?BG5方法二：因为直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?AB，AA1?平面ABC，
x以AC、AB、AA1分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
因为A1A?AB?AC?2，D，E，F分别为AB，BC，B1B的中点. 所以B(0,2,0)，D(0,1,0)，B1(0,2,2)，E(1,1,0)， 所以B1E?(1,?1,2)，BE?(1,?1,0)，DE?(1,0,0)， 设平面BB1E的一个法向量为m?(x1,y1,z1).
??m?B1E?(x1,y1,z1)?(1,?1,2)?x1?y1?2z1?0所以?，令x1?1，则y1?1，z1?0，
??m?BE?(x1,y1,z1)?(1,?1,0)?x1?y1?0所以m?(1,1,0).
设平面DB1E的一个法向量为n?(x2,y2,z2).
??m?B1E?(x2,y2,z2)?(1,?1,2)?x2?y2?2z2?0所以?，令z2?1，则y2?2，
??m?DE?(x2,y2,z2)?(1,0,0)?x2?0所以n?(0,2,1).
设二面角B?B1E?D为?，依题意??(0,所以cos???2)，
|m?n||m|?|n|?|(1,1,0)?(0,2,1)|12?12?22?12?10. 5所以二面角B?B1E?D的正弦值为1?(10215. )?55
判定面面垂直的方法： (1)面面垂直的定义．
(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．
设向量为m平面?的法向量为，向量n为平面?的法向量，平面?与平面?所称的二面角为?， 则0????；cos?1?cos?m,n??mgn. 所以???1或???1.
|m|?|n|
【拓展1】如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?AB，A1A?AB?AC?2，D，E，F分别为AB，BC，B1B的中点.
（1）证明：平面ABB1A1?平面B1DE； （2）求DE与平面BB1E所成角的正弦值..
【解析】证明：平面A1C1F?平面B1DE；
2020年高考数学(理)大题分解专题04 立体几何(含答案)
