小船过河问题
轮船渡河问题：
（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。
v船 v2
θ v1 V水
1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间
t?为
d?1?d ，显然，当??90?时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小
?船sin?d，合运动沿v的方向进行。 v2．位移最小 若?船??水
v船 θ v v水 结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为cos???水 ?船若v船?v水，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，
B v A α E v船 θ v水 设船头v船与河岸成θ角。合速度v与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据cos??v船v水船头与河岸的夹角应为
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??arccosv船v水，船沿河漂下的最短距离为：
xmin?(v水?v船cos?)?d
v船sin?dv水d此时渡河的最短位移：s? ?cos?v船【例题】河宽d＝60m，水流速度v1＝6m／s，小船在静水中的速度v2=3m／s，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?
★解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间
t?d?2?60s?20s 30(2)渡河航程最短有两种情况：
①船速v2大于水流速度v1时，即v2>v1时，合速度v与河岸垂直时，最短航程就是河宽； ②船速v2小于水流速度vl时，即v2 设航程最短时，船头应偏向上游河岸与河岸成θ角，则 cos???231??，??60? ?162d60?m?120m 6cos?20 最短行程，s?小船的船头与上游河岸成60角时，渡河的最短航程为120m。 技巧点拔：对第一小问比较容易理解，但对第二小问却不容易理解，这里涉及到运用数学知识解决物理问题，需要大家有较好的应用能力，这也是教学大纲中要求培养的五种能力之一。 【例题】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为( C ) 9 / 9 A． d?2???d?12221 B．0 C． ?2 D． d?2?1 ★解析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为v2，到达江岸所用时间t= d；沿江岸方向的运动速度是水速v1在相同的时间内，被水冲下的距离，v2dv1。答案：C v2即为登陆点距离0点距离s?v1t?【例题】某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ） (A) T2T22?T12 (B) T2TT1 (C) (D) 1 T1T2T12?T22★解析：设船速为v1 ，水速为v2 ，河宽为d ，则由题意可知 ： T1?当此人用最短位移过河时，即合速度v方向应垂直于河岸，如图所示，则 d① v1T2?dv?v2122② 2v12?v2T1vT2?联立①②式可得： ，进一步得1? 22T2v1v2T2?T1【例题】小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比， v水?kx，k?4v0，x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为v0，d则下列说法中正确的是（ A ） A、小船渡河的轨迹为曲线 B、小船到达离河岸 d处，船渡河的速度为2v0 2C、小船渡河时的轨迹为直线 D、小船到达离河岸3d/4处，船的渡河速度为10v0 高中物理-渡河模型习题讲解 9 / 9 【模型概述】 在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有效方法是看见的运动就是合运动。合运动的分解从理论上说可以是任意的，但一般按运动的实际效果进行分解。小船渡河和斜拉船等问题是常见的运动的合成与分解的典型问题 【模型讲解】 一、速度的分解要从实际情况出发 例1. 如图1所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度v0拉水平面上的物体A，当绳与水平方向成θ角时，求物体A的速度。 图1 解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A的两个分运动。物体A的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于v1?v0；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。这样就可以将vA按图示方向进行分解。所以v1及v2实际上就是vA的两个分速度，如图1所示，由此可得vA?vv1?0。 cos?cos?解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。 设船在θ角位置经△t时间向左行驶△x距离，滑轮右侧的绳长缩短△L，如图2所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC可近似看做是一直角三角形，因而有 ?L??xcos?，两边同除以△t得： ?L?x?cos? ?t?t即收绳速率v0?vAcos?，因此船的速率为： 9 / 9 vA?v0 cos? 图2 总结：“微元法”。可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。 解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子的拉力为F，则对绳子做功的功率为P1?Fv0；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F，则绳子对物体做功的功率为P2?FvAcos?，因为P1?P2所以 v0vA?。 cos?评点：①在上述问题中，若不对物体A的运动认真分析，就很容易得出vA?v0cos?的错误结果；②当物体A向左移动，θ将逐渐变大，vA逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物体A却在做变速运动。 总结：解题流程：①选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）；②确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；③确定该点合速度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；④作出速度分解的示意图，寻找速度关系。 二、拉力为变力，求解做功要正确理解 例2. 如图3所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始时人在滑轮的正下方，绳下端A点离滑轮的距离为H。人由静止拉着绳向右移动，当绳下端到B点位置时，人的速度为v，绳与水平面夹角为θ。问在这个过程中，人对重物做了多少功？ 9 / 9
高中物理小船过河问题含答案解析
