.极点与极线的性质
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第15讲:极点与极线的性质 125
第15讲:极点与极线的性质
极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题经常出现.掌握极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途.
定义:已知曲线G:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0,则称点P(x0,y0)和直线l:ax0x+b
y0x?x0yx?x0y?y0+cy0y+d+e+f=0是222曲线G的一对极点与极线,点P称为直线l关于曲线G的极点;直线l称为点P关于曲线G的极线.称点P与直线l有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”.
特别地,当点P在曲线G上时,点P关于曲线G的极线是曲线G在点P处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点.
[位置关系]:已知点P关于圆锥曲线G的极线是直线l,则三者的位置关系是:①若点P在曲线G上,则直线l是曲线
G在点P处的切线;②若点P在曲线G外,则直线l是由点P向曲线G引两条切线的切点弦;③若点P在曲线G内,则直线l是经过点P的曲线G的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图:
l l l P M P A D M P N C N B [配极原则]:如果点P的极线通过点Q,则点Q的极线也通过点P.
证明:设圆锥曲线G:ax2+bxy+cy2+2dx+2ey+f=0,点P(xp,yp),Q(xQ,yQ),则点P、Q关于曲线G的极线方程分别为
p:axpx+b
ypx?xpy2+cypy+d
x?xp2+e
y?yp2+f=0,q:axQx+b
yQ?yp2yQx?xQy2+cyQy+d
x?xQ2+e
y?yQ2+f=0,则点P的极线通过点+cyQy+d
x?xQ2Q?axpxQ+b
ypxQ?xpyQ2+cypyQ+d
xQ?xp2+e+f=0?点P(xp,yp)在直线q:axQx+b
yQx?xQy2+e
y?yQ2
+f=0上?点Q的极线也通过点P.
推论1:两点连线的极点是此二点极线的交点,两直线交点的极线是此二直线极点的连线;
证明:设两点A、B连线的极点是P,即点P的极线经过点A、B,由配极原则知点A、B的极线均过点P,即点P是此二
点极线的交点;同理可证:两直线交点的极线是此二直线极点的连线.
推论2(共点共线):共线点的极线必共点;共点线的极点必共线.
证明:设点A、B均在直线l上,直线l对应的极点为P,由配极原则知点A、B的极线均过点P,即点A、B的极线必共
点;同理可证:共点线的极点必共线.
推论3(中点性质):若圆锥曲线G过点P的弦AB平行于点P的极线,则点P是弦AB的中点.
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证明:设P(x0,y0),曲线G:ax2+bxy+cy2+2dx+2ey+f=0,则点P的极线方程:ax0x+b
+f=0,故可设AB:ax0x+b
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y0x?x0yx?x0y?y0+cy0y+d+e 222y0x?x0yx?x0y?y022
+cy0y+d+e+λ=0,由点P(x0,y0)在直线AB上?ax0+bx0y0+cy0+2dx0+2ey0+λ2222
=0?λ=-(ax0+bx0y0+cy0+2dx0+2ey0)?直线AB:ax0x+bax0x+b
y0x?x0yx?x0y?y022
+cy0y+d+e=ax0+bx0y0+cy0+2dx0+2ey0? 222y0x?x0yx?x0y?y022
+cy0y+d+e+f=ax0+bx0y0+cy0+2dx0+2ey0+f,而该直线为以为P中点的中点弦方程,即点P是弦222AB的中点.
[比例定理]:若过点P(x0,y0)的直线l与曲线G:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0相交于A、B两点,与直线:ax0x+b
y0x?x0y+ 2 126 第15讲:极点与极线的性质
cy0y+d
x?x0y?y0+e+f=0交于点Q,则|PA||QB|=|QA||PB|. 22 证明:设直线l:??x?x0?tcos?yx?x0yx?x0y?y0(t为参数),代入ax0x+b0+cy0y+d+e+f=0得:(2ax0cosθ+bx0sinθ
222?y?y0?tsin?2
2
22ax0?bx0y0?cy0?dx0?ey0?f2
+by0cosθ+2cy0sinθ)t+2(ax0+bx0y0+cy0+dx0+ey0+f)=0?t0=-2;代入ax+bxy+
2ax0cos??bx0sin??by0cos??2cy0sin?cy+2dx+2ey+f=0得:(acosθ+bcosθsinθ+csinθ)t+(2ax0cosθ+bx0sinθ+by0cosθ+2cy0sinθ)t+(ax0+bx0y0+cy0+dx0 +ey0+f)=0?t1+t2=-2ax0cos??bx0sin??by0cos??2cy0sin?acos2??bsin?cos??csin2?2t1t2成立. t1?t2222222
,t1t2=
22ax0?bx0y0?cy0?dx0?ey0?facos2??bsin?cos??csin2??t0=
2t1t2
;而|PA||QB|= t1?t2
|QA||PB|?|t1||t2-t0|=|t1-t0||t2|?t0=
[面积定理]:已知点P关于圆锥曲线G的极线为l,过点P的直线与圆锥曲线G相交于A、B两点,分别过点A、B的两
条平行线与直线l交于点D、C,记△APD、△CPD、△BPC的面积分别为S1,S2,S3,则:S2=4S1S2.
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证明:以椭圆G:
x2a2+
y2b2=1(a>b>0)为例,设P(x0,y0),则极线l:
|x0x12x0xa2?y0yb2?1.设A(x1,y1),B(x2,y2),并分别过点A、B
?1|2|AD1||b2x0x1?a2y0y1?a2b2|222222222222ab作l的垂线,垂足分别为D1、C1,则==2(注意到:ab=bx1+ay1,ab=bx2+ay) 222xxyy|BC1||022?022?1||bx0x2?ay0y2?ab|ab?y0y1=
22|b2x0x1?a2y0y1?b2x1?a2y1|22|b2x0x2?a2y0y2?b2x2?a2y2|=
|b2x1(x1?x0)?a2y1(y1?y0)||b2x2(x2?x0)?a2y2(y2?y0)|(注意到:
y1?y0y?y|x?x||a2ky?b2x|=20=k)=10?2121.又因x1?x0x2?x0|x2?x0||aky2?bx2|2?b2x2?a2y1|AP||x1?x0||a2ky?b2x|?a2b2?222222
?b(x1-x2)(x1+x2)+a(y1- =,以下只需证2121=1,即|aky1+bx1|=|aky2+bx2|,由?2122222|BP||x2?x0|?|aky2?bx2|?bx2?ay2?aby2)(y1+y2)=0?b(x1+x2)+ak(y1+y2)=0?aky1+bx1=-(aky2+bx2)?|aky1+bx1|=|aky2+bx2|?△BCC1?2222222222
|AP||AD1|
=,由△ADD1∽|BP||BC1|
|AD||AP||AD||AQ||AP||AQ|??PQ∥BC∥AD?S△BAC=S△BDC,两边=,设AC与BD交于点Q,由AD∥BC?==
|BC||BP||BC||QC||BP||QC|同减S△BQC得S△QAB=S△QDC,又因S△PQA=S△PQD,S△PQB=S△PQC?S△PCD=S△QCD+S△PQD+S△PQC=S△QCD+S△PQA+S△PQB=S△QCD+S△QAB=2S△QAB?S△QAD=S△PAD=S1,S
△QBC
=S△PBC=S3,S△QAB=
S?QADS?QBC|QD||QC|1122??S△PCD=S2,注意到:==1?S?QAB=S△QADS△QBC?S2=4S1S2. S?QABS?QAB|QB||QA|22例1:极点与极线的位置关系.
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2x0x22
[始源问题]:(2010年湖北高考试题)已知椭圆C:+y=1的两焦点为F1 ,F2,点P(x0,y0)满足0<+y02<1,则|PF1|+|PF2|
22的取值范围为 ,直线
x0x+y0y=1与椭圆C的公共点个数为 . 2[解析]:由0<
2x0xx2
+y0<1知,点P在椭圆C内,所以直线0+y0y=1与椭圆C相离?公共点个数为0;2c≤PF1|+|PF2|<2a? 222≤PF1|+|PF2|<22?|PF1|+|PF2|的取值范围为[2,22).
22y0x2y2x0[原创问题]:已知椭圆C:+=1,点P(x0,y0)满足+>1(x0≠0),直线l:x0x+y0y=1.
343434(Ⅰ)求直线l与椭圆C的公共点个数;
(Ⅱ)若射线OP与直线l、椭圆C分别交于点Q、M,求证:|OP||OQ|=|OM|.
?x?2cos?x2y2[解析]:(Ⅰ)因椭圆C:+=1??,θ∈[0,2π),所以,直线l与椭圆C的公共点个数?关于θ的方程
34?y?3sin?2
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3y0x0xx3y3y22
cosθ+0sinθ=1解的个数?直线:0x+0y=1与圆:x+y=1的公共点个数;由圆心O(0,0)到直线:0x+y
333222=1的距离d=
122x0y0?43<1?直线:
3y0x022
x+y=1与圆:x+y=1的公共点个数=2?直线l与椭圆C的公共点个数=2;
32(Ⅱ)因射线OP:y=
12y0223x0?4y02
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12x12y12xxxyyxxy2xy0x(x与x0同号),与0+0=1联立得:0+0=1?x=202?y=202?Q(202,
3x0x03443x0?4y03x0?4y03x0?4y02212(x0?y0)223x0?4y0212y023x02?4y0)?|OP||OQ|=
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;由y=
y0x2y2x2y2212x212y222
x与+=1联立得:+02x=1?x=202?y=202?
344x03x03x0?4y03x0?4y0?|OP||OQ|=|OM|.
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|OM|=x+y=
212x023x02?4y0+=
2212(x0?y0)23x0?24y0例2:抛物线中的共线性质.
[始源问题]:(2010年大纲卷Ⅰ高考试题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l与C相交于A、B两点,
点A关于x轴的对称点为D. (Ⅰ)证明:点F在直线BD上; (Ⅱ)设FA?FB=
8,求△BDK的内切圆M的方程. 9?y?k(x?1)42
?ky-4y+4k=0?y1+y2=,y1y2= 2k?y?4x[解析]:(Ⅰ)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:y=k(x+1)(k≠0),则D(x1,-y1),由?4;所以,点F在直线BD上?FB∥FD?(x2-1):(x1-1)=y2:(-y1)?y1((Ⅱ)由FA?FB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(
y2y-2)+y2(1-2)=0?y1y2-k(y1+y2)=0;
kk1184y2y283-2)(1-2)+y1y2=(1+2)y1y2-(y1+y2)+4=4(1+2)-2+4=8-2=?k=?;
kkk94kkkk根据对称性,不妨设k=4x1x2=
3322
,则直线AB:3x-4y+3=0,且kKD=?KF平分∠AKD?圆M的圆心M在x轴上;(x2-x1)=(x1+x2)- 44x?x1623|t?1|3?kBD=21=?直线BD:3x-7y-3=0;设M(t,0)(-1
极点与极线的性质
