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∴＜，＞，
∴
∴多面体的体积为﹣﹣
，解得：．
．
．专家研究表明，是霾的主要成份，在研究形成原因时，某研究人员研究了与燃烧排放的、、、等物质的相关关系．下图是某地某月与和相关性的散点图． （Ⅰ）根据上面散点图，请你就，对的影响关系做出初步评价；
（Ⅱ）根据有关规定，当排放量低于μ时排放量达标，反之为排放量超标；当值大于μ时雾霾严重，反之雾霾不严重．根据与相关性的散点图填写好下面×列联表，并判断有多大的把握认为“雾霾是否严重与排放量有关”： 雾霾不严重 雾霾严重 总计 排放量达标 排放量超标 总计 （Ⅲ）我们知道雾霾对交通影响较大．某市交通部门发现，在一个月内，当排放量分别是，，时，某路口的交通流量（单位：万辆）一次是，，，而在一个月内，排放量是，，的概率一次是，，（附： （≥） ），求该路口一个月的交通流量期望值的取值范围． ．
【考点】：独立性检验的应用；：离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）根据散点图知得出结论对以及对是否有相关关系； （Ⅱ）填写列联表，由表中数据计算，对照临界值得出结论； （Ⅲ）设交通流量是，根据的分布列，计算，求出它的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）根据散点图知，对有正相关关系，
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而对没有相关关系； （Ⅱ）列联表如下： 排放量达标 排放量超标 总计 雾霾不严重 雾霾严重 总计 由表中数据可知≈＞；
故有的把握认为“雾霾是否严重与排放量有关”； （Ⅲ）设交通流量是，则得如下分布列： 交通流量 因为，
所以×××∈（，）；
即＜＜，即交通流量期望值在万辆到万辆之间．
．设、、、是椭圆：其面积为
（＞＞）的四个顶点，四边形是圆：的外切平行四边形，
．椭圆的内接△的重心（三条中线的交点）为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）△的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【考点】：椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）由题意可得关于，的方程组，求解方程组得到，的值，则椭圆方程可求； （Ⅱ）当直线斜率不存在时，直接求出
，到直线的距离
，可得△的面积；当直线
的斜率存在时，设直线方程为：，（，），（，）．联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，由判别式大于可得与的关系，利用根与系数的关系可得，横坐标的和与积，由为△的重心求得的坐标把点坐标代入椭圆方程，可得．由弦长公式求得，再求出点到直线的距离，代入三角形面积公式整理得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵四边形是圆外切平行四边形，∴又四边形的面积
，联立解得，，
，
故所求椭圆 的方程为；
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（Ⅱ）当直线斜率不存在时，
∵为△的重心，∴为椭圆的左、右顶点， 不妨设（可得
，），则直线的方程为，到直线的距离
，
，
∴．
当直线的斜率存在时，设直线方程为：， （，），（，）．
联立，得（）﹣，
则△﹣（）（﹣）（﹣）＞． 即＞，
，，
∴．
∵为△的重心，∴，
∵点在椭圆上，故有化简得．
，
∴．
又点到直线的距离（是原点到距离的倍得到）．
∴
综上可得，△的面积为定值
．
．
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．已知函数（）（﹣），（）（﹣），∈．
（Ⅰ）判断直线（）能否与曲线（）相切，并说明理由；
（Ⅱ）若不等式（）＞（）有且仅有两个整数解，求的取值范围． 【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，设切点为（，），得到性求出的值，判断结论即可；
﹣．设（）﹣，根据函数的单调
（Ⅱ）根据（﹣）＜，令（）﹣，根据函数的单调性求出（）的最小值，通过讨
论的范围，求出满足条件的的范围即可． 【解答】解：（Ⅰ）假设存在这一的实数使得（）的图象与（）相切，设切点为（，）， 由′（）（﹣）可知，（﹣）
，即（
﹣）
①
又函数（）的图象过定点（，），因此即（
﹣）
②
﹣．
，
联立①、②消去有
设（）﹣，则′（）＞，所以（）在上单调递增， 而（）﹣＜，（）﹣＞，（）（）＜， 故存在∈（，），使得（），
所以存在直线（）能与曲线（）相切．
（Ⅱ）由（）＞（）得（﹣）＜．
令（）﹣，则′（）．
令ω（）﹣，则ω′（）＞，所以ω（）在上单调递增，
又ω（）﹣＜，ω（）﹣＞，所以ω（）在上有唯一零点（，）， 此时（）在（﹣∞，）上单调递减，在（，∞）上单调递增．
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∴（）（），
易证＞，（）＞＞． 当≤时，（）≥（）＞；当≥时，（）≥（）．
（）若≤，则（）≤＜，此时（）＜有无穷多个整数解，不合题意；
（）若≥，即≤，因为（）在（﹣∞，]上单调递减，在[，∞）上单调递增， 所以∈时，（）≥{（），（）}≥，所以（）＜无整数解，不合题意； （）若＜＜，即＞，此时（）（）＜，故，是（）＜的两个整数解，
又（）＜只有两个整数解，因此，解得≥．
所以∈[
，）．
选修：坐标系与参数方程
．在直角坐标系中，曲线：（θ为参数，为大于零的常数），以坐标原点为极点，
轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为ρ﹣ρθ． （Ⅰ）若曲线与有公共点，求的取值范围；
（Ⅱ）若，过曲线上任意一点作曲线的切线，切于点，求的最大值． 【考点】：参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）曲线消去参数，求出曲线的直角坐标方程，由曲线的极坐标方程求出曲线的直角坐标方程，若与有公共点，则﹣≤≤，由此能求出的取值范围． （Ⅱ）设（α，α），由﹣﹣，得α（α﹣）﹣﹣α≤，由此能求出的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵曲线：（θ为参数，为大于零的常数），
∴消去参数，得曲线的直角坐标方程为（＞）， ∵曲线的极坐标方程为ρ﹣ρθ， ∴曲线的直角坐标方程为（﹣）． 若与有公共点，则﹣≤
解得≤≤，故的取值范围是[，]． （Ⅱ）设（α，α），由﹣﹣， 得α（α﹣）﹣﹣α≤，
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当且仅当α﹣时取最大值，故的最大值为
选修：不等式选讲 ．设函数（）﹣，∈． （Ⅰ）当时，解不等式：（）≥﹣﹣；
．
（Ⅱ）若关于的不等式（）≤的解集为[﹣，]，且两正数和满足，求证：【考点】：绝对值不等式的解法． 【分析】（Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可． （）根据不等式的解集求出，利用的代换结合基本不等式进行证明即可． 【解答】（Ⅰ）解：当时，不等式：（）≥﹣﹣，可化为﹣﹣≥． ①≥时，不等式可化为﹣﹣≥，∴≥； ②≤＜，不等式可化为﹣﹣≥，∴∈?； ③＜，不等式可化为﹣﹣≥，∴≤，
综上所述，不等式的解集为（﹣]； （Ⅱ）证明：不等式（）≤的解集为[﹣，][﹣，]，∴， ∴
（
）（）（
）≥，当且仅当，时取等号．
．
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2019年湖南单招理科数学模拟试题[含答案]
