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【解答】解：棱长为的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图为△，则图中，为中点，则⊥， 在△中，，，
∴
，
∴三角形的面积是，
故选．
．若函数（）（，∈）在[﹣
，]上存在零点，且≤﹣≤，则的取值范围是（．[﹣，]．[﹣，﹣]．[﹣，]．[﹣，]
【考点】：函数零点的判定定理．
【分析】讨论零点个数，列出不等式组，作出平面区域，得出的取值范围． 【解答】解：设，则∈[﹣，]， ∴关于的方程在[﹣，]上有解， 令（），
（）若（）在[﹣，]上存在两个零点，则
，无对应的平面区域，（）若（）在[﹣，]上存在个零点，则（﹣）（）≤，
∴，
作出平面区域如图所示：
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）
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解方程组得（﹣，﹣）．
∴的范围是[﹣，]．
故选．
二、填空题（每题分，满分分，将答案填在答题纸上） ．在（）（）…（）的展开式中，项的系数是 （用数字作答）． 【考点】：二项式定理的应用．
【分析】利用二项展开式的通项公式，求得项的系数． 【解答】解：（）（）…（）的展开式中，项的系数是故答案为：．
，
．设不等式组，表示的平面区域为，若函数（＞）的图象上存在区域上的点，
则实数的取值范围是 [，∞） ． 【考点】：对数的运算性质．
【分析】如图所示，不等式组，表示的平面区域为，联立，解
得（，）．根据函数（＞）的图象上存在区域上的点，可得经过点时，取得最小值，可得．
【解答】解：如图所示，不等式组，表示的平面区域为，
联立，解得，∴（，）．
∵函数（＞）的图象上存在区域上的点， ∴经过点时，取得最小值，，解得． 则实数的取值范围是[，∞）． 故答案为：[，∞）．
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．直线过抛物线：（＞）的焦点，与抛物线交于、两点，与其准线交于点，若，
，
则 ． 【考点】：抛物线的简单性质． 【分析】过，，向准线作垂线，利用抛物线的定义得出直线的斜率，计算可得为的中点，利用中位线定理得出的值． 【解答】解：过，，作准线的垂线，垂足分别为′，′，′， 则′，′，′． ∵
，∴′，
，
∴直线的斜率为
∴′，∴是的中点． ∴′′，即． 故答案为：．
．已知数列{}满足，，（），则该数列的前项的和为 ． 【考点】：数列的求和．
【分析】先利用题中条件找到数列的特点，即其奇数项构成了首项为，公差为的等差数列，而其偶数项则构成了首项为，公比为的等比数列，再对其和用分组求和的方法找到即可． 【解答】解：由题中条件知，，，，，，…
即其奇数项构成了首项为，公差为的等差数列，而其偶数项则构成了首项为，公比为的等比
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数列，
所以该数列的前项的和为 （…）（…）． 故答案为：．
三、解答题（本大题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ．如图，在平面四边形中，已知∠．
（Ⅰ）求∠的值； （Ⅱ）求的长．
，∠
，，在边上取点，使得，连接，．若∠
，
【考点】：三角形中的几何计算．
【分析】（Ⅰ）在△中，正弦定理求出∠；
（Ⅱ）在△中，由余弦定理得﹣?°，得．由余弦定理得﹣?∠?∠?∠、∠在直角△中，求得
，在△中，由余弦定理得﹣?°即可
【解答】解：（Ⅰ）在△中，由正弦定理得
（Ⅱ）在△中，由余弦定理得﹣?°，即，解得． 由余弦定理得﹣?∠?∠∠
．?∠，?∠
，
，
，∠，
在直角△中，，═∠，?，
在△中，由余弦定理得﹣?° ∴．
．如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，∥，，，与交于，且⊥，矩形⊥底面，为上一动点，满足
λ
．
（Ⅰ）若∥平面，求实数λ的值； （Ⅱ）当λ时，锐二面角﹣﹣的余弦值为
，求多面体的体积．
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【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；：直线与平面平行的判定．
【分析】（）连结，根据线面平行的性质可知∥，故而四边形为平行四边形，于是； （）以为原点建立空间坐标系，求出平面和平面的法向量，根据二面角的大小，列方程求出，代入棱锥的体积公式即可． 【解答】解：（Ⅰ）连接，在梯形中，∥， ∴△∽△，∴．
∵∥平面，平面∩平面，?平面， ∴∥．
又∥，∴四边形为平行四边形， ∴．
∴，即λ．
（Ⅱ）∵距形⊥底面，平面∩平面，
∴⊥底面．∵， ∴⊥底面． 以为原点，以，，所在直线为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系， 设（＞），∵△≌△，∴∠， ∴∴（∴
，同理
，
，），（，﹣（﹣
，），（，，）， ，），
（﹣
，
，）．
，，），（，（﹣
，，），
，﹣
设平面的法向量为（，，），平面的法向量为（，，）．
则，，
∴
令，得（，﹣，
，），（，，
）．
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2019年湖南单招理科数学模拟试题[含答案]
