（A） 收敛 （B） 发散 （C） 可能收敛，可能发散 （D） 无法确定
5. 函数f(x)?sinx关于x的幂级数展开式为 ( C )
(A) 1?x?x22!?L?xnn!?L (???x???)
(B) 1?x?x2?L?xn?L (???x???)
(C) x?1x3?1x5?L?(?1)n?1x2n?13!5!?2n?1?!?L (???x???)
(D) 1?x2?x4?L?x2n?L (???x???)
三、计算题(共2小题，每小题8分，共16分) 1、求微分方程 y''?y'?6y??3e?2x 的通解。
解: 与所给方程对应的齐次方程为：y???y??6y?0它的特征方程为：r2?r?6?0
有两个实根r1?3,r2??2.
于是与所给方程对应的齐次方程的通解为：
Y?C1e3x?C?2x2e
由于???2是所给方程的单根，
所以应设y*为y*?xbe?2x
把它代入方程，得b?35
从而，所求方程的通解为：y?C3xe?2x1e?C2?3?25xex 6
2、设函数z?x2f?ex,y?，其中f具有二阶连续的偏导数，
?z?2z求,2。 ?x?x?zx2xx??2xfe,y?xfe,ye1解: ?x
?2zxx2xx22xx????2fe,y?4xe?xefe,y?xefe,y1112?x????????????四、计算积分(8分)
计算
??1?eD1?x2?y2dxdy，其中D是由中心在原点，
半径为a的圆在第一象限内的闭区域。
解: 在极坐标系中，闭区域D可表示为0???a,0???由公式，有??D??2
11?e?x2?y2dxdy???D11?e???2?d?d?
a12?????20?01?e????2?1ln1?e?2?d??d??0????2??a??d? 0??1?e?ln42?a2
五、解答题（一）(每小题8分，共16分) 1、计算曲线积分???yxdx?xydy,
L其中L是由y2?x,y?x所围成的正向闭曲线。
解: 设P??yx,Q?由格林公式，有
?Q?P??y?x xy
?x?y7
???yxdx?xydy????x?y?dxdy
LD??1?x0???x?x?y?dy???dx
??1?30?x2?1x?3x2??dx?3?22?20
2、?设幂级数 ??2n?1?xn.
n?0 (1).求收敛半径及收敛区间； (2).求和函数。解:a 因为??limn?12n??a?limn?3?1nn??2n?1 所以收敛半径R?1??1
?当x??1时，??2n?1?xnn?0发散，
因此，幂级数的收敛域是
??1,1?。
?设S?x????2n?1?xn?1?x?1。
n?0，
??S?x??2?nxn??0?xnnn?0
???2x???xn??n?0???11?x ?2x?1?x?2?11?x1?x??1?x?2
8
六、解答题（二）(每小题8分，共16分) 1、求点??1,0,2?在平面x?2y?z?1?0上的投影。 解: 过点??1,0,2?且垂直平面x?2y?z?1?0
?x??1?t?y?2t的直线方程为?
?z?2?t?代入平面方程x?2y?z?1?0 225x??,y?,z?解得
333?225?因此，投影点为??3,3,3?
??12、利用高斯公式计算曲面积分ò??2xdydz?ydzdx?2zdxdy,
?其中?是界于z?0和z?4之间的 圆柱体x2?y2?4的整个表面的外侧。
1解: 因为P?2x,Q?y,R?2z，
?P?Q?R7则?x??y??z?2
由高斯公式，有
1ò??2xdydz?ydzdx?2zdxdy? ?7772dv????dv??2?4?56???? 222??
9
七、解答题（三）(第一小题8分，第二小题6分) 1、求函数 z?x2?xy?y2?9x?6y?20的极值。
?z解: Q?x?2x?y?9,?z??x?2y?6 ?y??z?2x?y?9?0???x由方程 ??z ，
???x?2y?6?0???y 得x??4,y?1
?2z?2z?2zA?2?2,B???1,C?2?2
?x?x?y?y2AC?B?5?0,因为
A?0，
所以函数z在??4,1?处取得极小值.
2、设a?0,b?0为常数，f?t?是连续函数，且f?t??0
证明：
?x??b?1?f????a?1??a????x??y?x2y2f???f???2?12ab?a??b?（补充轮换对称性结论： 若D关于
?y?f???b?dxdy??aba?b?? 2x,y满足轮换对称性
（即将D的边界曲线方程中的交换位置，方程不变），
x与y
则??f?x,y?dxdy???f?y,x?dxdy）
DD 10
2014级高等数学(下)考卷及答案
