南昌大学 2014～2015学年第二学期期末考试试卷 一、填空题(每空 3 分，共 15 分)
3?xy?91. 极限lim=_________.
x?0xyy?0xn2. 幂级数???1?的收敛半径为_________.
2n?3n?1?3. 微分方程y?sinx?ylny满足初始条件y()?e
2?n的特解为______.
?z?________. 4. 设函数 z?, 则 ??x?y??x1?e15. 改换二次积分的积分次序?0dy?y1y?12f?x,y?dx=_______.
二、单项选择题 (每小题3分,共15分)
1. 二元函数z?f?x,y?在?x0,y0?处可微的充分条件是
（ ）
(A) f?x,y?在?x0,y0?处连续；
（B）fx??x,y?,fy??x,y?在?x0,y0?的某邻域内存在； (C) ?z?fx??x0,y0??x?fy??x0,y0??y
当(D) lim??x?2???y??0 时，是无穷小；
?0。
2?z?fx??x0,y0??x?fy??x0,y0??y?x?0?y?0??x?2???y?22. 已知向量的模分别是a?3,b?5,则当且仅当??
（ ）时，向量a??b与a??b互相垂直。
1
333(A) （B）? (C) ? (D) 2
5553. 设z?z(x,y)是由方程z2?3yexz?a3?0所确定的
?z隐函数,则?( )。
?y3exz3z(A) (B) xx2z?3ye2z?3ye3z3exz (C) (D) x
2z?3y2ez?3y4. 若级数
?u 条件收敛，
nn?1??则级数
?un?1n必定（ ）。
（A） 收敛 （B） 发散 （C） 可能收敛，可能发散 （D） 无法确定
5. 函数f(x)?sinx关于x的幂级数展开式为 ( )
x2xn (A) 1?x??L??L (???x???)
2!n! (B) 1?x?x2?L?xn?L (???x???)
2n?11315x?L (C) x?x?x?L?(?1)n?13!5!?2n?1?!(???x???)
(D) 1?x2?x4?L?x2n?L (???x???)
2
三、计算题(共2小题，每小题8分，共16分) 1、求微分方程 y''?y'?6y??3e?2x 的通解。
2、设函数z?x2f?ex,y?，其中f具有二阶连续的偏导数，
?z?2z求,2。 ?x?x四、计算积分(8分)
计算
??1?eD1?x2?y2dxdy，其中D是由中心在原点，
半径为a的圆在第一象限内的闭区域。
五、解答题（一）(每小题8分，共16分) 1、计算曲线积分???yxdx?xydy,
L其中L是由y2?x,y?x所围成的正向闭曲线。
2、设幂级数 ??2n?1?xn.
n?0? (1).求收敛半径及收敛区间； (2).求和函数。
六、解答题（二）(每小题8分，共16分) 1、求点??1,0,2?在平面x?2y?z?1?0上的投影。
12、利用高斯公式计算曲面积分ò??2xdydz?ydzdx?2zdxdy,
?其中?是界于z?0和z?4之间的 圆柱体x2?y2?4的整个表面的外侧。
七、解答题（三）(第一小题8分，第二小题6分) 1、求函数 z?x2?xy?y2?9x?6y?20的极值。
3
2、设a?0,b?0为常数，f?t?是连续函数，且f?t??0，证明：
x2a???b?1?f???1?2y2b2x???a?1???a??x??y?f???f???a??b??y?f???b?dxdy??aba?b ??2（补充轮换对称性结论：若D关于x,y满足轮换对称性（即
将D的边界曲线方程中的x与y
交换位置，方程不变），则??f?x,y?dxdy???f?y,x?dxdy）
DD南昌大学 2014～2015学年第二学期期末考试试卷及答案
一、填空题(每空 3 分，共 15 分)
3?xy?911. 极限lim=?
x?0xy6y?0xn2. 幂级数???1?的收敛半径为1.
2n?3n?1?3. 微分方程y?sinx?ylny满足初始条件y()?e
2x的特解为lny?tan.
2?n?z?4. 设函数 z?, 则 ??x?y??x1?e1?x?ye???2?x?y1?e???2.
5. 改换二次积分的积分次序?0dy?y1y?1f?x,y?dx=
?0dx?01xf?x,y?dy??1dx?x?1f?x,y?dy.
21二、单项选择题 (每小题3分,共15分)
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1. 二元函数z?f?x,y?在?x0,y0?处可微的充分条件是
（ D ）
(A) f?x,y?在?x0,y0?处连续；
（B）fx??x,y?,fy??x,y?在?x0,y0?的某邻域内存在； (C) ?z?fx??x0,y0??x?fy??x0,y0??y
当(D) lim??x?2???y??0 时，是无穷小；
?0。
2?z?fx??x0,y0??x?fy??x0,y0??y?x?0?y?0??x?2???y?22. 已知向量的模分别是a?3,b?5,则当且仅当??
（ C ）时，向量a??b与a??b互相垂直。 333(A) （B）? (C) ? (D) 2
5553. 设z?z(x,y)是由方程z2?3yexz?a3?0所确定的
?z隐函数,则?( A )。
?y3exz3z(A) (B) xx2z?3ye2z?3ye3z3exz (C) (D) x
2z?3y2ez?3y4. 若级数
?u 条件收敛，
nn?1??则级数
?un?1n必定（ B ）。
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2014级高等数学(下)考卷及答案
