本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 26.3变换的复合与矩阵的乘法
【知识网络】
1、通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。 2、变换的复合——二阶方阵的乘法。
3、通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律与消去律，验证二阶方阵乘法满足结合律。 【典型例题】
例1：（1）???13???11????结果是 ( )文????24??04?档收集自网络，仅用于个人学习 A、???213??132???218??18?2???????? B、 C、 D、 ?????????218??18?2??213??132?答案：A。解析：根据矩阵乘法的法则。
（2）关于矩阵乘法下列说法中正确的是 ( )
文档收集自网络，仅用于个人学习 A、不满足交换律,但满足消去律 B、不满足交换律和消去律 C、满足交换律不满足消去律 D、满足交换律和消去律 答案：B。解析：矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律。 （3）???1?1?1A、??3?0??10??11??01????????? ( ) ???????1??02??01??11?2??13??23??34?? B、??24?? C、??14?? D、??21?? 4?????????10??10??11??01??10??11??01??11??01??12???????????????????????。 11020111120111131134????????????????????3答案：A。解析：?1x （4）若? ???01??1??31x1x1x1x12x1x0.70.8??答案：x ???01???01????01????01????01????01??11x13x110.70.8 =? ?=? ?，∴3x=1 ∴ x = ， 考察y=() 的图象和性质得：x ?????44??44?3??12??1?例2：已知矩阵M??5?，向量????求M?。 ?16?3?????2?ur1 / 8 ??1 2?4 24??6 4??4 24??1??388?3=M2M=?3?， 答案：∵M=?5∴M2=?，∴M，∴M????30 52??30 52??16???862? ? 3?5 14???????????2?55??sin? cos??12?1 0?12?例3：设A=? ?，E=??，n?N*，求使An=E的最小正整数n的值。 550 1??cos? sin???????1212?????n?n???cos(?) -sin(?)cos(?) -sin(?)??1212?1212??1 0?n 答案：A=???????? ?sin(??) cos(??)??sin(?n?) cos(?n?)??0 1????1212???1212??n??2k?,k?z,?n??24k,k?z,又因为n?N*，所以当k??1时，nmin?24。 ∴?12?2 0??0 -1?例4：求出曲线x2?y2?1依次经过矩阵A=?，B=??1 0?作用下变换得到的曲线方 0 1????n程。 答案：由已知AB=??2 0???0 1??0 -1??0 -2??1 0?=?1 0? ???? 任取曲线x2?y2?1上一点P(x0,y0)，它在矩阵AB对应的变换作用下变为P?(x,y)，则 ?0 -2??x0??x???2y0?xx222222有??1，??y???y?故?x?y，∵P在曲线x?y?1上，∴x0?y0?1，因此y?1 04???0????0x2从而曲线x?y?1在矩阵AB作用下变成椭圆?y2?1。文档收集自网络，仅用于个人学习 4【课内练习】 ?cos? sin???cos? -sin???a b?1．若???sin? cos????-b a?，则a的值为 （ ） -sin? cos???????22A、sin(???) B、sin(???) C、cos(???) D、cos(???) 答案：D。解析：由矩阵的乘法法则知a?cos?cos??sin?sin??cos(???)。 ?cos? -sin???1 0??x?2．已知A=?，B=，P= ??0 -1??y?，则矩阵ABP表示的几何意义是（ ） ?sin? cos??????A、点P(x,y)对x轴反射后，再绕原点逆时针旋转α角所得的坐标 B、点P(x,y)对y轴反射后，再绕原点逆时针旋转α角所得的坐标 C、点P(x,y)绕原点逆时针旋转α角后，再对x轴反射所得的坐标 D、点P(x,y)绕原点逆时针旋转α角后，再对y轴反射所得的坐标 答案：A。解析：矩阵乘法不满足交换律，故首先排除C、D选项，矩阵B把点P变换为关于x轴对称的点。 ?31? -???1 0?22?3．设????,n?N*，则n的最小值为 （ ） ?13??0 1?? ??22?nA、3 B、6 C、9 D、12 2 / 8 ?31????n?n????cos -sincos -sin -???66??66??1 0?22??答案：D。解析：????????? ?13??sin? cos???sinn? cosn???0 1?? ??6?66??6?????22?nn??2k?,k?z，即n?12k,k?z，又n?N*，∴n的最小值为12。 6?1 0?4．将点(2,4)先经矩阵??变换后，再绕原点逆时针旋转90°角所得的点坐标为 0 2??∵ 答案：(?8,2)。解析：由题意知 ?cos90o -sin90o??1 0??2??0 -1??1 0??2??0 -2??2???8????4???1 0??0 2??4???1 0??4???2?。 oo??0 2?????????????????sin90 cos90???5．设A=??1 2??4 2?，B=??k 7?，若AB=BA，则k= 。 3 4?????4?2k 16??10 16?，BA=??k+21 2k+28?，由AB=BA知k=3。 ?12+4k 34???答案：3。解析：AB=?6．将坐标平面上的一个图形先将其横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标变为原来的一半， 然后对它做关于y轴对称的变换，再将它做关于直线y=x对称的变换，则如此平面变换所对应的二阶变换矩阵为 。文档收集自网络，仅用于个人学习 ?1?0 答案：?2?。解析：由题意知，所求的二阶变换矩阵为： ???2 0???2 0??2 0??1?0 1?0 1???1 0???????1???0 2?。 A=???1????1 0??0 1??0 ??-1 0??0 ??-2 0??2??2???7．若矩阵A=??把直线l:2x?y?7?0变换成另一直线l?:9x?y?91?0，则b 13??a= ,b= 。 答案：0;—1。解析：取l上两点(0,7)和（3.5,0），则??3 a??0??7a??3 a??3.5??10.5???7???91?，?b 13??0???3.5b?，b 13?????????????3 a?由已知(7a,91),(10.5,3.5b)在l?上，代入得a=0,b=—1。 8．求证??1 0??1 0??1 0??1 0???0 3???0 0??0 -1?，并从几何变换的角度给予解释。 0 0?????????1 0??1 0?，右边=??0 0?，故等式成立。 0 0????证明：左边=??1 0??1 0??x??x???x?表示的是先作????y???y????3y?的伸压变换，再作 ?0 0??0 3????????x???x????x???1 0??1 0??x??x???x???的投影变换；而表示的是先作?y???y????0??0 0??0 -1??y???y?????y?的反射变换，????????????????从几何变换的角度看，?再作????????的投影变换，上述两组复合变换表示的几何变换结果相同。文档收集自y?y??0??????网络，仅用于个人学习 ?x???x????x??9．设A=??5 -1??1 2?，B=??3 4?，计算AB与BA。 ?2 4???3 / 8 答案：AB=??5 -1???2 4??1 2??2 6??1 2??3 4???14 20?，BA=?3 4????????5 -1??9 7??2 4???23 13?。 ?????1 0??作用下变10．已知曲线xy?1，将它绕坐标原点逆时针旋转45°角后，再在矩阵??0 2?换得到什么曲线？曲线方程是什么？ 答案：由已知，复合变换矩阵为M=??1 0??cos45o -sin45o???2 -2??0 2????sin45 cos45???oo???22??? ?2 2??任取曲线xy?1上一点P(x0,y0)，它在TM的作用下变为P?(x,y)，则有 ??22x?2?2?2 -2??2??x0???x?，故?2?2x2xy0?2y0?x，即??0?4， ????2 2???y??0??y?????2x22y?2x0?2y0?y???y0?4∵P在曲线xy?1上，∴x2y2?8x2?16，即y2x20y0?1，因此8?2?1， ?1在TM作用下变为双曲线，曲线方程为y2x2从而曲线xy8?2?1。 【作业本】 A组 M?10??10?1．点通过矩阵1????01?和M2??2????01?3?的变换效果相当于另一变换是( ) ?A. ??10???10?? C. ??3 B. ??10???101?? ??1??6?1??2??1? D. ???0?0?2????02????06??6???答案：D。 2．A=??cos40o -sin40o??，B=??sin40o cos40o????cos20o -sin20o??，则AB= ?sin20o cos20o?? （??1 -3??13??13??13? A、??22??? B、??2 2?? ??2 -2????2 -2?? ?31??31? C、?31? D、??2 2????2 2????2 2??????32 -1?2???13oo答案：C。解析：AB=??cos60 -sin60?? -???sin60 cos60???22?。 ?oo????3?2 1?2??3．设矩阵A=???1 3??，B=??2 3??，CA=B，则矩阵C= （ ?2 -5??1 -1?A、??16 9??-3 2?? B、??16 -9???16 9??16 9??3 2?? C、??3 2?? D、??3 2? ?4 / 8 ） ） ??a?2b?2?3a?5b?3?a b???1 3???a?2b 3a-5b??2 3??答案：D。解析：∵?，∴?， ?????????c d2 -5-c+2d 3c-5d1 -1?c?2d?1???????????3c?5d??1∴a?16,b?9,c?3,d?2。 ?cos? -sin??4．已知A=?，则An= （n?N*）。 ?sin? cos???答案：An=??cosn? -sinn???。 ?sinn? cosn??15．将向量??依序作如下变换：①横、纵坐标分别缩短到原来的；②绕原点顺时针 24???2?旋转45°；③沿x轴方向移到y的4倍，所到向量为 ?2?7?2 ?2??1 4??2??。解析：由题意知?答案：???2??0 1??2 ?-??2???25?3??7???42 42??2??22???????。 =?22??4??2??? ???44???2??5??1??32??1??2 2 0 0??2??2??2?2??2??2??2?????????? 141?22??2?0 ????0 ??4?? ?????2???22???2??2?6．根据下列条件求X,根据两题的结果，指出你认为正确的一个结论 -1??1 0? ②X =?1 0??1 -1? 1?????21???21????21??1-1101?1?(-1)?2 1?0?(-1)?1?=?-1 -1? 答案：①X =? ?? ?= ?2?0?1?1???21????21????2?1?1?2???41??101-11?1?0?2 1?(?1)?0?1?=?1 -1? ②X =? ?? ?=???21????21????2?1?1?22?(?1)?1?1????4-1??-1-11-1∵? ?≠? ? 结论：矩阵乘法不满足交换律。 ??41????4-1??① X =? 7．两个矩阵的乘法的几何意义是对应变换的复合，反过来，可以对平面中的某些几何 变换进行简单的分解。你能根据如图所示变换后的图形进行分解，从而知道它是从原来图形经过怎样的复合变换过来的吗？文档收集自网络，仅用于个人学习 yyB? 3 2A?B?B2 B1C 1C? AAA?xx?2?1O1O2342 1 （1） （2） 答案：（1）可以看作是矩形OABC先作一次伸压变换，对应的矩阵??，再作绕原点 ?0 2??1 0?1??25 / 8
变换复合与矩阵乘法
