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2021届高三数学一轮复习——函数的单调性与最值

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2021届高三数学一轮复习——函数的单调性与最值

1.函数的单调性 (1)单调函数的定义

增函数 减函数 一般地,设函数f (x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 定义 当x1f (x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的

(2)单调区间的定义

如果函数y=f (x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f (x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f (x)的单调区间. 2.函数的最值

前提 设函数y=f (x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (1)对于任意的x∈I,都有条件 f (x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f (x0)=M 结论

概念方法微思考

1.在判断函数的单调性时,你还知道哪些等价结论?

M为最大值 (1)对于任意的x∈I,都有f (x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f (x0)=M M为最小值 自左向右看图象是下降的 f ?x1?-f ?x2?

提示 对?x1,x2∈D,x1≠x2,>0?f (x)在D上是增函数;对?x1,x2∈D,x1≠x2,

x1-x2(x1-x2)·[f (x1)-f (x2)]>0?f (x)在D上是增函数.减函数类似. a

2.写出函数y=x+(a>0)的增区间.

x提示 (-∞,-a]和[a,+∞).

题组一 思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若定义在R上的函数f (x),有f (-1)

(3)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( × )

x(4)所有的单调函数都有最大值和最小值.( × )

题组二 教材改编

2.如图是函数y=f (x),x∈[-4,3]的图象,则下列说法正确的是( )

A.f (x)在[-4,-1]上是减函数,在[-1,3]上是增函数 B.f (x)在区间(-1,3)上的最大值为3,最小值为-2 C.f (x)在[-4,1]上有最小值-2,有最大值3 D.当直线y=t与f (x)的图象有三个交点时-1

2

3.函数y=在[2,3]上的最大值是______.

x-1答案 2

4.若函数f (x)=x2-2mx+1在[2,+∞)上是增函数,则实数m的取值范围是________. 答案 (-∞,2]

解析 由题意知,[2,+∞)?[m,+∞),∴m≤2.

题组三 易错自纠

5.函数f (x)=log1(-2x2+x)的单调增区间是________;f (x)的值域是________.

211?

答案 ??4,2? [3,+∞)

6.函数y=f (x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f (a+1)

-2≤a+1≤2,

??

解析 由条件知?-2≤2a≤2,

??a+1>2a,解得-1≤a<1.

x2+1??,x≥1,

7.设函数f (x)=?x是单调函数.则a的取值范围是________;若f (x)的值域

??ax,x<1是R,则a=________. 答案 (0,2] 2

x2+111

解析 当x≥1时,f (x)==x+,则f′(x)=1-2≥0恒成立,

xxx∴f (x)在[1,+∞)上单调递增,∴f (x)min=f(1)=2, 当x<1时,f (x)=ax, 由于f (x)是单调函数,

∴f (x)=ax在(-∞,1)上也单调递增,且ax≤2恒成立,

??a>0,

∴? ?a≤2,?

故a的取值范围为(0,2], ∵当x≥1时,f (x)≥2,

由f (x)的值域是R,可得当x=1时,ax=2,

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