好文档 - 专业文书写作范文服务资料分享网站

2013考研数学三(真题及答案)-详细解析word版

天下 分享 时间: 加入收藏 我要投稿 点赞

第三部分:数三真题及答案解析

一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.

1.当x?0时,用o(x)表示比x高阶的无穷小,则下列式子中错误的是( )

(A)x?o(x)?o(x) (B)o(x)o(x)?o(x) (C)o(x)?o(x)?o(x) (D)o(x)?o(x)?o(x)

【详解】由高阶无穷小的定义可知(A)(B)(C)都是正确的,对于(D)可找出反例,例如当x?0时f(x)?x?x?o(x),g(x)?x?o(x),但f(x)?g(x)?o(x)而不是

2332222222323o(x2)故应该选(D).

2.函数f(x)?x?1x(x?1)lnxx的可去间断点的个数为( )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【详解】当xlnx?0时,x?1?exxlnx?1~xlnx,

limf(x)?limx?0x?1x(x?1)lnxx?1x(x?1)lnxx?1x(x?1)lnxxxxx?0?limxlnxxlnxxlnx2xlnxx?0?1,所以x?0是函数f(x)的可去间断点.

1,所以x?1是函数f(x)的可去间断点. 2??,所以所以x??1不是函数f(x)的

limf(x)?limx?1x?1?limx?0?x??1limf(x)?limx??1?limxlnx?(x?1)lnxx??1可去间断点.

故应该选(C).

3.设Dk是圆域D?(x,y)|x?y?1的第k象限的部分,记Ik?( )

(A)I1?0 (B)I2?0 (C)I3?0 (D)I4?0 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知

?22???(y?x)dxdy,则

Dk12?Ik???(y?x)dxdy???d??(sin??cos?)rdr??k?1(sin??sin?)d?0(k?1)32?Dk2k212?k??1?sin??cos??|3k?2k?1?2

所以I1?I3?0,I2?22. ?,I4???,应该选(B)

334.设?an?为正项数列,则下列选择项正确的是( ) (A)若an?an?1,则

??(?1)n?1?n?1an收敛;

(B)若

?(?1)n?1?n?1an收敛,则an?an?1;

(C)若

?an?1n收敛.则存在常数P?1,使limnan存在;

n???p(D)若存在常数P?1,使limnan存在,则

n??p?an?1n收敛.

【详解】由正项级数的比较审敛法,可知选项(D)正确,故应选(D).

此小题的(A)(B)选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件,对于选项(A),但少一条件liman?0,显然错误.而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件,不是必要条件,

n??选项(B)也不正确,反例自己去构造.

5.设A,B,C均为n阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则

(A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价. (B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价. (C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价. (D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价.

【详解】把矩阵A,C列分块如下:A???1,?2,?,?n?,C???1,?2,?,?n?,由于AB=C,则可知?i?bi1?1?bi2?2???bin?n(i?1,2,?,n),得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的列向量组线性表示.同时由于B可逆,即A?CB,同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示,所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价.应该选(B).

?1?1a1??200?????aba0b06.矩阵??与矩阵??相似的充分必要条件是 ?1a1??000?????(A)a?0,b?2 (B)a?0,b为任意常数

(C)a?2,b?0 (D)a?2,b为任意常数

?200??1a1??200???????【详解】注意矩阵?0b0?是对角矩阵,所以矩阵A=?aba?与矩阵?0b0?相

?000??1a1??000???????似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等.

??1?E?A??a?12?a?1?a???(?2?(b?2)??2b?2a2)

??b?a??1从而可知2b?2a?2b,即a?0,b为任意常数,故选择(B).

227.设X1,X2,X3是随机变量,且X1~N(0,1),X2~N(0,2),X3~N(5,3),

Pi?P??2?Xi?2?,则

(A)P1?P2?P3 (B)P2?P1?P3 (C)P3?P2?P1 (D)P1?P3?P2 【详解】若X~N(?,?),则

2X???~N(0,1)

X??P1?2?(2)?1,P2?P??2?X2?2??P??1?2?1??2?(1)?1,

2????2?5X3?52?5??7??7?P3?P??2?X3?2??P??????(?1)????????????1)?33??3??3??3,

?7?P3?P2?1?????3?(1)?2?3?(1)?0.

?3?故选择(A).

8.设随机变量X和Y相互独立,且X和Y的概率分布分别为 X P Y P 则P?X?Y?2??( ) (A)

-1 1/3 0 1/3 1 1/3 0 1/2 1 1/4 2 1/8 3P 1/8 1111 (B) (C) (D) 12862【详解】

P?X?Y?2??P?X?1,Y?1??P?X?2,Y?0??P?X?3,Y??1??,故选择(C).

1111???1224246二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)

9.设曲线y?f(x)和y?x?x在点?1,0?处有切线,则limnf?2n???n??? . n?2??【详解】由条件可知f?1??0,f'(1)?1.所以

?2??f?1???f(1)?n??n?2?limnf???2f'(1)??2 ??limn??n???2n?2n?2???n?2?2n10.设函数z?z?x,y?是由方程?z?y??xy确定,则

x?z|(1,2)? . ?x,

【详解】 设

F?x,y,z??(z?y)x?xyFx?x,y,z??(z?y)xln(z?y)?y,Fz(x,y,z)?x(z?y)x?1,

当x?1,y?2时,z?0,所以

?z|(1,2)?2?2ln2. ?x11.

???1lnxdx? .

(1?x)2【详解】

???1????lnx1lnx??1x??dx??lnxd??|?dx?ln|1?ln2 12??111?x1?xx(1?x)x?1(1?x)1y?0的通解为 . 411r【详解】方程的特征方程为?????0,两个特征根分别为?1??2?,所以方程通

4212.微分方程y???y??解为y?(C1?C2x)e,其中C1,C2为任意常数.

13.设A?aij是三阶非零矩阵,A为其行列式,Aij为元素aij的代数余子式,且满足

x2??Aij?aij?0(i,j?1,2,3),则A= .

T【详解】由条件Aij?aij?0(i,j?1,2,3)可知A?A*?0,其中A*为A的伴随矩阵,从

而可知

A*?A*?AT3?1??A,所以A可能为?1或0.

?n,r(A)?n?*T但由结论r(A)??1,r(A)?n?1可知,A?A*?0可知r(A)?r(A*),伴随矩阵的秩只

?0,r(A)?n?1?能为3,所以A??1.

2X? . 14.设随机变量X服从标准正分布X~N(0,1),则EXe??【详解】

EXe2X????????xe2x12?e?x22dx??????2x2?e?(x?2)2?22dx?e2?2?????(x?2?2)e?(x?2)22dx

tt???????e2?22???e2E(X)?2e2?2e2. tedt?2edt ????????2????2所以为2e.

2三、解答题

15.(本题满分10分)

当x?0时,1?cosxcos2xcos3x与ax是等价无穷小,求常数a,n. 【分析】主要是考查x?0时常见函数的马克劳林展开式. 【

nx?0时,

cosx?1?12x?o(x2)2,,

1cos2x?1?(2x)2?o(x2)?1?2x2?o(x2)219cos3x?1?(3x)2?o(x2)?1?x2?o(x2),

22所

1?cosxcos2xcos3x?1?(1?,

129x?o(x2))(1?2x2?o(x2))(1?x2?o(x2))?7x2?o(x2)22n由于1?cosxcos2xcos3x与ax是等价无穷小,所以a?7,n?2. 16.(本题满分10分) 设D是由曲线y?3x,直线x?a(a?0)及x轴所转成的平面图形,Vx,Vy分别是D绕x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积,若10Vx?Vy,求a的值. 【详解】由微元法可知

2013考研数学三(真题及答案)-详细解析word版

第三部分:数三真题及答案解析一、选择题1—8小题.每小题4分,共32分.1.当x?0时,用o(x)表示比x高阶的无穷小,则下列式子中错误的是()(A)x?o(x)?o(x)(B)o(x)o(x)?o(x)(C)o(x)?o(x)?o(x)(D)o(x)?o(x)?o(x)【详
推荐度:
点击下载文档文档为doc格式
8vp1e6obal99g5n13tny9pg7z7hdvh00te6
领取福利

微信扫码领取福利

微信扫码分享