高考数学一轮复习 第三章 不等式 不等式的综
合应用导学案 新人教版必修5
【例1】
若不等 式组 的解集中所含整数解只有－2，求k的取值范围、
【解析 】
由x2－x－2＞0有x＜－1或x＞2，由2x2＋(5＋2k)x＋5k＜0有(2x＋5)(x＋k)＜0、因为－2是原不等式组的解，所以k＜
2、由(2x＋5)(x＋k)＜0有－52＜x＜－k、因为原不等式组的整数解只有－2，所以－2＜－k≤3，即－3≤k＜2，故k的取值范围是[－3,2)、
【点拨】
涉及到含参数的不等式解集的有关问题时，借助数轴分析，往往直观、简洁、
【变式训练1】
不等式(－1)na＜2＋(－1)n＋1n对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围、
【解析】
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当n为奇数时，－a＜2＋1n，即a＞－(2 ＋1n)、而－(2＋1n)＜－2，则a≥－2；当n为偶数时，a＜2－1n，而2－1n≥2－12＝32，所以a＜
32、综上可得－2≤a＜32 、 【点拨】
不等式中出 现了(－1)n的时候，常常分n为 奇数和偶数进行分类讨论、题型二 不等式在函数中的应用
【例2】
已知函数f(x)＝2x－ax2＋2在区间[－1,1]上是增函数、(1)求实数a的值组成的集合A；(2)设x1，x2是关于x的方程f(x)＝1x的两个相异实根，若对任意a∈A及t∈[－1,1]，不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|恒成立，求实数m的取值范围、
【解析】
(1)f′(x)＝4＋2ax－2x2(x2＋2)2，因为f(x)在[－1,1]上是增函数，所以当x∈[－1,1]时，f′(x)≥0恒成立，令φ(x)＝x2－ax－2，即x2－ax－2≤0恒成立、 所以A＝{a|－1≤a≤1 }、(2)由f(x)＝1x得x2－ax－2＝0、设x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个根，所以x1＋x2＝a，x1x2＝－
2、从而|x1－x2|＝(x1＋x2)2－4x1x2＝a2＋8，因为a∈[ －1,1]，所以a2＋8≤3，即|x1－x2|max＝
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3、不等式对任意a∈A及t∈[－1,1]不等式恒成立，即m2＋tm－2≥0恒成立、设g(t)＝m2＋tm－2＝mt＋m2－2，则 解得m≥2或m≤－
2、故m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)、 【点拨】
对于在给定区间上恒成立的不等式问题，通常可以转化为给定 区间上的函数最大值(最小值)大于零(或小于零)，亦可分离变量或者利用数形结合的方法，分离变量和数形结合更加简单明了、
【变式训练2】
设a，b＞0，且ab＝1，不等式aa2＋1＋bb2＋1≤λ恒成立，则λ的取值范围是
、 【解析】
[1，＋∞)、因为ab＝1，所以aa2＋1＋bb2＋1＝2a＋b≤22ab＝1，所以λ≥
1、题型三 不等式在实际问题中的应用 【例3】
某森林出现火灾，火势正以100 m2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火50 m2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救
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火所耗损的车辆，器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m2，问应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？
【解析】
设派x名消防队员前去救火，用t分钟 将火扑灭，总损失为y，则t＝510050x－100＝10x－2，y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费＝125xt＋100x＋60(500＋100t)＝125x10x－2＋100x＋30 000＋60 000x－2 ＝100(x－2)＋62500x－2＋31450≥2100(x－2)?62500x－2＋31450＝3645 0，当且仅当100(x－2)＝62500x－2，即x＝27时，y有最小值36450，故应派27人前去救火才能使总损失最少，最少损失36450元、
【点拨】
本题需要把实际问题抽象为数学问题，建立不等式模型 ，利用基本不等式求最值，基本不等式是历年高考考查的重要内容、
【变式训练3】
某学校拟建一块周长为400 m的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？
【解析】
设中间矩形区域的长，宽分别为x m，y m，中间的矩形区域面积为S，则半圆的周长为πy2，因为操场周长为400，所以2x
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＋2πy2＝400，即2x＋πy＝400(0＜x＜200,0＜y＜400π)，所以S＝xy＝12π?(2x)?(πy)≤12π?2x＋πy22＝20 000π，由 解得 所以当且仅当 时等号成立，即把矩形的长和宽分别设计为100 m和200πm时，矩形区域面积最大、总结提高
1、不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际 应用问题；另一 类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题、不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合、解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联系，充分利用数学思想和数学方法解题、2、建立不等式的主要途径有：利用基本不等式；利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性等、3、解答不等式的实际应用问题一般分四步，即审题、建模、求解、检验、
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高考数学一轮复习 第三章 不等式 不等式的综合应用导学案 新人教版必修5
